Demonstre:
Demonstre que, para o espalhamento elástico de duas partículas, teremos:
t=2\left(p^{C M}\right)^{2}\left(1-\cos \theta^{C M}\right)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, no espalhamento elástico de duas partículas, que a variável de Mandelstam
\displaystyle t
no sistema de Centro de Massa satisfaz
t = 2\,(p^{CM})^2\bigl(1 - \cos\theta^{CM}\bigr).
Para isso vamos usar a kinemática em CM, a definição de transferência de momento 4-vetor e o produto escalar de 4-vetores.

Passo 2

No Centro de Massa temos os 4-momentos iniciais e finais
p_1^\mu = \bigl(E,\vec p\bigr),\quad p_2^\mu = \bigl(E,-\vec p\bigr),\quad p_3^\mu = \bigl(E,\vec p'\bigr),\quad p_4^\mu = \bigl(E,-\vec p'\bigr),
com \bigl|\vec p\bigr|=\bigl|\vec p'\bigr|=p^{CM} e \theta^{CM} o ângulo entre \vec p e \vec p'.
Definimos o 4-vetor de transferência de momento
q^\mu = p_1^\mu - p_3^\mu
e, por convenção,
t = -\,q^\mu q_\mu = -\,(p_1 - p_3)^2.

Passo 3

Expandindo
t = -(p_1 - p_3)^2 = -\bigl(p_1^2 + p_3^2 - 2\,p_1\!\cdot\!p_3\bigr).
Como p_1^2 = p_3^2 = m^2 (partículas on–shell), fica
t = -\bigl(2m^2 - 2\,p_1\!\cdot\!p_3\bigr) = 2\bigl(p_1\!\cdot\!p_3 - m^2\bigr).

Passo 4

No CM o produto escalar é
p_1\!\cdot\!p_3 = E^2 - \vec p\!\cdot\!\vec p' = E^2 - p^2\cos\theta^{CM}.
E como E^2 = p^2 + m^2, obtemos
p_1\!\cdot\!p_3 - m^2 = \bigl(p^2 + m^2\bigr) - m^2 - p^2\cos\theta^{CM} = p^2\bigl(1 - \cos\theta^{CM}\bigr).

Passo 5

Substituindo em t:
t = 2\,\bigl[p^2\,(1 - \cos\theta^{CM})\bigr] = 2\,(p^{CM})^2\,(1 - \cos\theta^{CM}).

Resposta

t = 2\,(p^{CM})^2\,(1 - \cos\theta^{CM}).

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