Se uma determinada rede é descrita pela função de transferência \mathbf{H}(\mathbf{s}), faça o gráfico do módulo de \mathbf{H}(\mathbf{s}) em função da frequência para \mathbf{H}(\mathbf{s}) igual
\frac{\mathbf{s}\left(\mathbf{s}^{2}+7 \mathbf{s}+7\right)}{\mathbf{s}(2 \mathbf{s}+4)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede o gráfico do módulo de \mathbf{H}(\mathbf{s}) em função da frequência, ou seja, queremos traçar \bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| versus \omega. O conteúdo é análise de resposta em frequência (diagrama de Bode de magnitude). Para isso, vamos substituir \mathbf{s}=j\omega, obter a expressão de \bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| e estudar seu comportamento em função de \omega.

Passo 2

Começamos simplificando \mathbf{H}(\mathbf{s}). Dado
\mathbf{H}(\mathbf{s}) =\frac{\mathbf{s}\bigl(\mathbf{s}^2+7\,\mathbf{s}+7\bigr)}{\mathbf{s}\,(2\,\mathbf{s}+4)^2}
cancelamos o fator \mathbf{s} no numerador e denominador, obtendo
\mathbf{H}(\mathbf{s}) =\frac{\mathbf{s}^2+7\,\mathbf{s}+7}{(2\,\mathbf{s}+4)^2}.

Passo 3

Agora fazemos \mathbf{s}=j\omega. O numerador vira
N(j\omega) =(j\omega)^2+7\,j\omega+7 =-\omega^2+7j\omega+7 =(7-\omega^2)+j\,7\omega,
e o denominador é
D(j\omega) =(2\,j\omega+4)^2 =\bigl(4+2j\omega\bigr)^2.
Para o módulo, usamos
\bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| =\frac{\bigl|N(j\omega)\bigr|}{\bigl|2j\omega+4\bigr|^2}.
Note que
\bigl|N(j\omega)\bigr| =\sqrt{(7-\omega^2)^2+(7\omega)^2} =\sqrt{\omega^4+35\,\omega^2+49},
e
\bigl|2j\omega+4\bigr| =\sqrt{4^2+(2\omega)^2} =2\sqrt{1+\omega^2}, \quad \bigl|2j\omega+4\bigr|^2 =4\,(1+\omega^2).
Logo
\boxed{ \bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| =\frac{\sqrt{\omega^4+35\,\omega^2+49}}{4\,(1+\omega^2)} }.

Passo 4

Analisamos os extremos de frequência para orientar o esboço:
  • Em \omega=0:
\bigl|\mathbf{H}(j0)\bigr| =\frac{\sqrt{0+0+49}}{4\cdot1} =\frac{7}{4}=1{,}75.
  • Em \omega\to\infty: para grandes \omega, \sqrt{\omega^4+35\omega^2+49}\approx\omega^2 e 4(1+\omega^2)\approx4\omega^2, então
\bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr|\to\frac{\omega^2}{4\,\omega^2}=\frac14=0{,}25.

Passo 5

Para verificar se há pico de ressonância, podemos checar que a função é monotonicamente decrescente em \omega>0 (derivada sempre negativa), logo não há pico adicional: o módulo decresce suave de 1{,}75 até 0{,}25.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico de \bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| versus \omega:
  • Em \omega=0, começa em 1{,}75.
  • Cai de forma suave e monótona sem oscilações.
  • Para \omega grande, tende a 0{,}25.

Resposta

O gráfico de \bigl|\mathbf{H}(j\omega)\bigr| versus \omega é uma curva monótona decrescente que parte de 1,75 em \omega=0 e assintoticamente se aproxima de 0,25 para \omega\to\infty.

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