Esboce o gráfico de fase de cada uma das seguintes funções de transferência:
\frac{\mathbf{s}+1}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+2)^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de fase (Bode) da função de transferência
G(s)=\frac{s+1}{s\,(s+2)^2}.
O conteúdo usado será a soma das contribuições de fase de cada polo e zero: zero em s=-1, polo de primeira ordem em s=0 e polo duplo em s=-2.

Passo 2

Identificamos polos e zeros e suas fases elementares em s=j\omega:
\bullet Zero em s=-1: \displaystyle \angle (j\omega+1)=\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{1}\bigr).
\bullet Polo em s=0: \displaystyle \angle\bigl(\tfrac{1}{j\omega}\bigr)=-90^\circ (constante para todo \omega).
\bullet Polo duplo em s=-2: cada polo contribui \displaystyle -\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr), total -2\,\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr).
Logo a fase total é
\varphi(\omega) =\underbrace{\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{1}\bigr)}_{\text{zero}} \;-\;90^\circ \;-\;2\,\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr).

Passo 3

Para esboçar com retas assintóticas usamos os polos e zero em escala logarítmica:
\bullet Frequência de canto do zero: \omega_z=1. A fase do zero sobe de 0^\circ a +90^\circ com inclinação +45^\circ/década entre \omega=0{,}1 e \omega=10.
\bullet Frequência de canto do polo duplo: \omega_p=2. Cada polo gera descida de -45^\circ/década entre \omega=0{,}2 e \omega=20, total -90^\circ/década.
\bullet O polo em zero fixa -90^\circ em toda faixa.
Então temos faixas lineares:
1. \omega<0{,}1: só o polo em zero – \varphi\approx -90^\circ.
2. 0{,}1<\omega<0{,}2: soma de inclinações +45 (zero) + 0 (polo duplo ainda não começa) \to pente +45^\circ/década.
3. 0{,}2<\omega<10: pente +45^\circ -90^\circ=-45^\circ/década.
4. 10<\omega<20: agora o zero já terminou de subir, mas o polo duplo ainda desce \to pente -90^\circ/década.
5. \omega>20: todas as transições prontas \to fase constante em -180^\circ.

Passo 4

Marcamos fases aproximadas em pontos típicos:
\bullet \omega=0{,}1:\\ \varphi\approx -90^\circ.
\bullet \omega=1:\\ \varphi(1)=45^\circ-90^\circ-2\cdot26{,}6^\circ\approx -98^\circ.
\bullet \omega=2:\\ \varphi(2)=63{,}4^\circ-90^\circ-2\cdot45^\circ\approx -116{,}6^\circ.
\bullet \omega=10:\\ \varphi(10)=84{,}3^\circ-90^\circ-2\cdot78{,}7^\circ\approx -163^\circ.
\bullet \omega\to\infty:\\ \varphi\to 90^\circ-90^\circ-180^\circ=-180^\circ.

Resposta

O esboço qualitativo do diagrama de fase é:
Eixo horizontal: escala log de \omega. Eixo vertical: fase em graus.
– Para \omega<0{,}1, reta em -90^\circ.
– De \omega=0{,}1 a 0{,}2, reta subindo com +45^\circ/década, alcançando cerca de -76{,}5^\circ em 0{,}2.
– De 0{,}2 a 10, reta decrescendo com -45^\circ/década, passando por -98^\circ em \omega=1 e -116{,}6^\circ em \omega=2.
– De 10 a 20, reta decrescendo mais acentuada com -90^\circ/década, chegando em -180^\circ em \omega=20.
– Para \omega>20, reta horizontal em -180^\circ.
Esse conjunto de segmentos é o esboço da fase de G(s).

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