Expreesse os números complexos na forma retangular: (b) 19 e^{\mathrm{j} 30^{\circ}}; 2,5 /-30^{\circ}+0,5 / 45^{\circ}. Converta para a forma polar:

Passo 1

O enunciado pede dois complexos:
  • \;19e^{\mathrm{j}30^\circ},
  • \;2{,}5\angle -30^\circ + 0{,}5\angle 45^\circ.
    Para cada um devemos primeiro expressar na forma retangular x + jy e depois converter essa forma retangular de volta à forma polar R\angle\theta.

Passo 2

Para \,19e^{\mathrm{j}30^\circ} usamos a fórmula de Euler:
19e^{\mathrm{j}30^\circ} =19\bigl(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ\bigr) =19\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2} + j\,\tfrac12\Bigr) =\frac{19\sqrt3}{2} + j\,\frac{19}{2}.
Numericamente,
\frac{19\sqrt3}{2}\approx16{,}454,\quad \frac{19}{2}=9{,}5,
logo na forma retangular
19e^{\mathrm{j}30^\circ}\approx 16{,}454 + j\,9{,}5.

Passo 3

Convertendo esse resultado de volta à forma polar, calculamos
R = \sqrt{16{,}454^2 + 9{,}5^2} = 19, \qquad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{9{,}5}{16{,}454}\bigr)=30^\circ.
Portanto
19e^{\mathrm{j}30^\circ}=16{,}454 + j\,9{,}5 \quad\longrightarrow\quad 19\angle 30^\circ.

Passo 4

Agora \,2{,}5\angle -30^\circ + 0{,}5\angle 45^\circ. Cada termo em retangular:
2{,}5\angle -30^\circ =2{,}5\bigl(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\bigr) =2{,}5\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-j\,\tfrac12\Bigr) =\tfrac{2{,}5\sqrt3}{2} - j\,\tfrac{2{,}5}{2},
0{,}5\angle 45^\circ =0{,}5\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+j\,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\tfrac{0{,}5\sqrt2}{2}+j\,\tfrac{0{,}5\sqrt2}{2}.
Somando as partes reais e imaginárias:
\Re = \frac{2{,}5\sqrt3}{2} + \frac{0{,}5\sqrt2}{2}, \qquad \Im = -\frac{2{,}5}{2} + \frac{0{,}5\sqrt2}{2}.
Numericamente,
\Re\approx 2{,}165 +0{,}354=2{,}519,\quad \Im\approx -1{,}25+0{,}354=-0{,}896,
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2{,}5\angle -30^\circ + 0{,}5\angle 45^\circ \approx 2{,}519 - j\,0{,}896.

Passo 5

Para converter esse 2{,}519 - j\,0{,}896 em polar, calculamos
R = \sqrt{2{,}519^2 + (-0{,}896)^2} \approx \sqrt{6{,}347 +0{,}803}=2{,}674,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{-0{,}896}{2{,}519}\bigr) \approx -19{,}6^\circ.
Portanto
2{,}5\angle -30^\circ + 0{,}5\angle 45^\circ \approx 2{,}519 - j\,0{,}896 \quad\longrightarrow\quad 2{,}674\angle -19{,}6^\circ.

Resposta

19 e^{j 30^\circ} = 16,454 + j 9,5 \approx 19 \angle 30^\circ
2,5 \angle -30^\circ + 0,5 \angle 45^\circ = 2,519 - j 0,896 \approx 2,674 \angle -19,6^\circ

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