Um elétron de 10 eV é incidente sobre uma barreira de potencial de altura 25 eV e largura de 1nm. (b)Repita seus cálculos para uma largura de 0,1 nm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente tem um elétron com energia de 10 eV que está esbarrando numa barreira de potencial que tem 25 eV de altura e inicialmente 1 nm de largura. O que a gente precisa fazer agora é calcular a probabilidade desse elétron passar por essa barreira quando a largura dela é reduzida para 0,1 nm. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, mais especificamente o efeito de tunelamento quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o efeito tunelamento. Na mecânica clássica, se a energia do elétron for menor que a altura da barreira, ele simplesmente não passa. Mas na mecânica quântica, há uma chance de o elétron “tunelar” através da barreira mesmo tendo menos energia que a altura dela. Essa probabilidade depende de alguns fatores, como a diferença de energia entre o elétron e a barreira, a largura da barreira e a massa do elétron.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de tunelamento, usamos a fórmula aproximada:
T approx e^-2kappa L
onde kappa = raiz2m(V - E)hbar^2 é a probabilidade de transmissão, é dado por:
Aqui:
  • é a massa do elétron,
  • é a altura da barreira de potencial,
  • é a energia do elétron,
  • é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos agora calcular kappa = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times 2,403 times 10^-18(1,055 times 10^-34)^2 . Primeiro, precisamos dos valores:
  • Massa do elétron, kg,
  • ,
  • 1 eV = J, então J,
  • J·s,
  • Largura m.
Agora, calculamos :

Passo 5

Fazendo as contas:
kappa = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times 2,403 times 10^-181,113 times 10^-68
kappa = raiz4,373 times 10^-481,113 times 10^-68
kappa = raiz3,928 times 10^20
kappa approx 6,27 times 10^10 , m^-1

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade T approx e^-2 times 6,27 times 10^10 times 0,1 times 10^-9 :
T approx e^-2 times 6,27 times 10^10 times 1 times 10^-10
T approx e^-12,54
T approx 3,54 times 10^-6

Resposta

A probabilidade de o elétron de 10 eV tunelar através da barreira de potencial de 25 eV com largura de 0,1 nm é aproximadamente .

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