Uma partícula é descrita por uma função de onda psi(x)=A e^-alpha x^2, onde A e alpha são reais, constantes positivas. Se o valor de alpha é aumentado, qual o efeito que ele tem sobre (b)a incerteza da partícula no momentum? Explique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata da incerteza no momentum de uma partícula cuja função de onda é dada por psi(x) = A e^-alpha x^2. Aqui, alpha é uma constante positiva. O conteúdo principal envolvido é a Mecânica Quântica, especificamente o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Para resolver, precisamos entender como a constante alpha afeta a incerteza no momentum da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a incerteza no momentum. Na Mecânica Quântica, a incerteza no momentum, denotada por De, mede o quanto o momentum da partícula é “incerto” ou variável. Segundo o Princípio da Incerteza de Heisenberg, existe uma relação inversa entre a incerteza na posição ( De) e a incerteza no momentum ( De), dada pela fórmula:
onde hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Nossa função de onda é psi(x) = A e^-alpha x^2, que é uma Gaussiana. Essa forma de função de onda indica que a partícula está mais provavelmente localizada perto de x = 0 e a distribuição de posição tem uma largura relacionada a alpha. Quanto maior o valor de alpha, mais “estreita” a função de onda fica, ou seja, a partícula está mais confinada em uma região menor do espaço.

Passo 4

Como vimos, a incerteza na posição De está relacionada à largura da função de onda. Se alpha aumenta, então De diminui porque a partícula está mais localizada. Pela relação do Princípio da Incerteza de Heisenberg, se De diminui, então De deve aumentar para que o produto De seja mantido.

Passo 5

Portanto, ao aumentar o valor de alpha, estamos reduzindo a incerteza na posição De, o que, de acordo com a relação de incerteza, resulta em um aumento na incerteza no momentum De. Isso significa que a partícula tem uma distribuição de momentum mais ampla quando alpha é maior.

Resposta

Aumentar o valor de alpha faz com que a incerteza no momentum da partícula aumente.

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