Um elétron ( m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) se move com velocidade v=0,75 c. Calcule a magnitude de \vec{p} em mecânica clássica e relativística.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a magnitude do momento linear \vec{p} de um elétron em duas situações: mecânica clássica e mecânica relativística. Informações fornecidas:
  • Massa do elétron: m_{e}=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}.
  • Velocidade do elétron: v=0,75\,c.
  • É necessário fornecer os valores numéricos de \lVert\vec{p}\rVert em cada teoria.

Passo 2

Primeiro vamos converter a velocidade para metros por segundo para trabalhar com unidades SI. Vou usar a velocidade da luz
c = 3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Logo
v = 0,75\,c = 0,75\cdot 3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s} = 2,25\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Guarde esse valor para os cálculos numéricos.

Passo 3

Mecânica clássica: fórmula e significado.
  • Na mecânica clássica o momento linear (magnitute) é dado por
\lVert\vec{p}\rVert = m v,
onde m é a massa do corpo e v é a velocidade. Aqui m=m_{e} e v é a velocidade calculada no passo anterior.

Passo 4

Cálculo do momento clássico passo a passo.
  • Substituindo os valores:
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{clássica}} = m_{e}\,v = \left(9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\right)\left(2,25\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\right).á
  • Multiplicando as potências de 10 e os coeficientes:
9,11\times2,25 = 20,4975
e
10^{-31}\times10^{8}=10^{-23}.
Logo
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{clássica}} = 20,4975\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s} = 2,04975\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.á
  • Arredondando para três algarismos significativos (prática comum em física experimental):
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{clássica}}\approx 2,05\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.á

Passo 5

Mecânica relativística: fórmula e significado.
  • Em relatividade, o momento linear é dado por
\lVert\vec{p}\rVert = \gamma m v,
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}.
Aqui m=m_{e}, v é a velocidade dada e c é a velocidade da luz. O fator \gamma corrige a expressão clássica quando v é uma fração significativa de c.

Passo 6

Cálculo de \gamma para v=0,75\,c.
  • Primeiro calcule (v/c)^{2}:
\left(\frac{v}{c}\right)^{2} = 0,75^{2} = 0,5625.
  • Então
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0,5625}} = \frac{1}{\sqrt{0,4375}}.
  • Avaliando numericamente:
\sqrt{0,4375}\approx 0,6614378278,
portanto
\gamma \approx 1,511857892.

Passo 7

Cálculo do momento relativístico usando \gamma.
  • Podemos usar que \lVert\vec{p}\rVert_{\text{rel}}=\gamma\,(m_{e}v), ou seja, \gamma vezes o resultado clássico.
  • Usando o valor já calculado para m_{e}v:
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{rel}} = 1,511857892 \times 2,04975\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Fazendo a multiplicação:
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{rel}} \approx 3,098930714\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
\lVert\vec{p}\rVert_{\text{rel}}\approx 3,10\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 8

Interpretação rápida (motivação para a prova).
  • O momento relativístico é maior que o clássico porque a física relativística aumenta efetivamente a “inércia” do objeto quando sua velocidade se aproxima de c. Para velocidades pequenas ( v\ll c) \gamma\approx1 e as duas fórmulas coincidem.
  • Dica prática: se v for uma fração significativa de c (por exemplo v\gtrsim0,1c) use a fórmula relativística na prova para não errar.

Resposta

Mecânica clássica: 2,05\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}\n
Mecânica relativística: 3,10\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}

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