Questão 3 - Trajetória de nanopartícula em solução (cinemática 2D) Uma nanopartícula segue o movimento descrito por:
(a) Calcule as componentes da velocidade e da aceleração.
(b) Determine
ângulo da velocidade com o eixo
no instante
.
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá as posições da nanopartícula em função do tempo:
Pede duas coisas:
- (a) Calcular as componentes da velocidade e da aceleração (isto é, as expressões de
e ). - (b) Determinar o ângulo que a velocidade faz com o eixo
no instante .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(As unidades de posição não foram especificadas no enunciado; normalmente assumimos metros. Aqui isso não altera o procedimento: as componentes de velocidade terão unidade de distância/tempo e de aceleração distância/tempo
.)
Passo 2
Entendendo o que é pedido para a velocidade e como calcular: a velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Se escrevemos o vetor posição como
então a velocidade é
Aqui a derivada significa “taxa de variação de cada coordenada em relação ao tempo” — fisicamente, quão rápido a coordenada
e a coordenada
mudam por segundo.
Agora vamos derivar componente a componente usando regras básicas de derivação:
- A derivada de
em relação a é (constante multiplicando ). - A derivada de
em relação a é (pela regra do poder: ).
Portanto, as componentes da velocidade são
Passo 3
Explicando e calculando a aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em componentes,
Derivando as componentes que já achamos:
-
, porque a derivada de uma constante é zero. -
, pela regra do poder/linearidade.
Logo, as componentes da aceleração são
Interpretação física rápida: a componente
da velocidade é constante (movimento retilíneo uniforme em
), então não há aceleração em
; em
há aceleração constante de intensidade
(movimento uniformemente acelerado em
).
Passo 4
Vamos avaliar as componentes no instante pedido
, porque parte (b) precisa da velocidade nesse instante.
A velocidade geral é , então em
:
A velocidade geral é
A aceleração geral é
, e em
continua sendo
(Unidades implícitas: se posições estão em metros, então
em
e
em
.)
Passo 5
Agora como achar o ângulo que a velocidade faz com o eixo
em
. Geometricamente, o vetor velocidade
forma um ângulo
com o eixo positivo
. Num triângulo retângulo formado pelas componentes do vetor,
Portanto, a fórmula para o ângulo é
Observação importante: essa fórmula funciona bem quando
; se
fosse negativa ou zero precisaríamos ajustar o quadrante (usar função atan2 em programação). Aqui em
temos
, então tudo bem.
Passo 6
Aplicando a fórmula com os valores em
: temos
e
. Assim
Podemos interpretar isso construindo um triângulo retângulo com catetos
(oposto) e
(adjacente); a hipotenusa valeria
. A expressão
é a forma exata do ângulo. Se for preciso o valor numérico em graus, usamos uma calculadora ou tabela de arctangente:
que em radianos é aproximadamente
Se você estiver na prova e o enunciado permitir resposta exata, escrever
costuma ser aceito; se pedirem graus, anote a aproximação
.
Passo 7
Recapitulando, com um toque de incentivo: fizemos passo a passo — derivadas para obter velocidade e aceleração, avaliamos em
e usamos trig para o ângulo. Vai dar certo na prova; lembra de checar o sinal de
antes de aplicar
em casos mais complicados.