Questão 3 - Trajetória de nanopartícula em solução (cinemática 2D) Uma nanopartícula segue o movimento descrito por:
x(t)=5 t, \quad y(t)=2 t^{2}
(a) Calcule as componentes da velocidade e da aceleração.
(b) Determine o ângulo da velocidade com o eixo x no instante t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as posições da nanopartícula em função do tempo:
x(t)=5t,\qquad y(t)=2t^{2}.
Pede duas coisas:
  1. (a) Calcular as componentes da velocidade e da aceleração (isto é, as expressões de v_x(t),\,v_y(t) e a_x(t),\,a_y(t)).
  2. (b) Determinar o ângulo que a velocidade faz com o eixo x no instante t=1\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
x(t)=5t,\quad y(t)=2t^{2},\quad\text{o tempo }t\text{ está em segundos (}\mathrm{s}\text{).}á
(As unidades de posição não foram especificadas no enunciado; normalmente assumimos metros. Aqui isso não altera o procedimento: as componentes de velocidade terão unidade de distância/tempo e de aceleração distância/tempo ^2.)

Passo 2

Entendendo o que é pedido para a velocidade e como calcular: a velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Se escrevemos o vetor posição como
\vec r(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr),
então a velocidade é
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}=\left(\frac{dx}{dt},\,\frac{dy}{dt}\right).
Aqui a derivada significa “taxa de variação de cada coordenada em relação ao tempo” — fisicamente, quão rápido a coordenada x e a coordenada y mudam por segundo.
Agora vamos derivar componente a componente usando regras básicas de derivação:
  • A derivada de 5t em relação a t é 5 (constante multiplicando t).
  • A derivada de 2t^{2} em relação a t é 4t (pela regra do poder: \frac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).
Portanto, as componentes da velocidade são
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=5,\qquad v_y(t)=\frac{dy}{dt}=4t.

Passo 3

Explicando e calculando a aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em componentes,
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}=\left(\frac{dv_x}{dt},\,\frac{dv_y}{dt}\right).
Derivando as componentes que já achamos:
  • \frac{d}{dt}(5)=0, porque a derivada de uma constante é zero.
  • \frac{d}{dt}(4t)=4, pela regra do poder/linearidade.
Logo, as componentes da aceleração são
a_x(t)=0,\qquad a_y(t)=4.
Interpretação física rápida: a componente x da velocidade é constante (movimento retilíneo uniforme em x), então não há aceleração em x; em y há aceleração constante de intensidade 4 (movimento uniformemente acelerado em y).

Passo 4

Vamos avaliar as componentes no instante pedido t=1\\ \mathrm{s}, porque parte (b) precisa da velocidade nesse instante.
A velocidade geral é \vec v(t)=(5,\,4t), então em t=1:
\vec v(1)=(5,\,4).
A aceleração geral é \vec a(t)=(0,\,4), e em t=1 continua sendo
\vec a(1)=(0,\,4).
(Unidades implícitas: se posições estão em metros, então \vec v em \mathrm{m/s} e \vec a em \mathrm{m/s^{2}}.)

Passo 5

Agora como achar o ângulo que a velocidade faz com o eixo x em t=1. Geometricamente, o vetor velocidade \vec v forma um ângulo \theta com o eixo positivo x. Num triângulo retângulo formado pelas componentes do vetor,
\tan\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{v_y}{v_x}.
Portanto, a fórmula para o ângulo é
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right).
Observação importante: essa fórmula funciona bem quando v_x>0; se v_x fosse negativa ou zero precisaríamos ajustar o quadrante (usar função atan2 em programação). Aqui em t=1 temos v_x=5>0, então tudo bem.

Passo 6

Aplicando a fórmula com os valores em t=1: temos v_x(1)=5 e v_y(1)=4. Assim
\theta=\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).
Podemos interpretar isso construindo um triângulo retângulo com catetos 4 (oposto) e 5 (adjacente); a hipotenusa valeria \sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}. A expressão \arctan(4/5) é a forma exata do ângulo. Se for preciso o valor numérico em graus, usamos uma calculadora ou tabela de arctangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right)\approx 38{,}66^\circ,
que em radianos é aproximadamente
\theta\approx 0{,}675\\ \text{rad}.
Se você estiver na prova e o enunciado permitir resposta exata, escrever \theta=\arctan(4/5) costuma ser aceito; se pedirem graus, anote a aproximação 38{,}66^\circ.

Passo 7

Recapitulando, com um toque de incentivo: fizemos passo a passo — derivadas para obter velocidade e aceleração, avaliamos em t=1 e usamos trig para o ângulo. Vai dar certo na prova; lembra de checar o sinal de v_x antes de aplicar \arctan(v_y/v_x) em casos mais complicados.

Resposta

v_x(t)=5,\quad v_y(t)=4t;\quad a_x(t)=0,\quad a_y(t)=4.\n \theta(t=1)=\arctan\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\approx 38{,}66^\circ

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