Questão 1 - Rastreamento de célula sob o microscópio (cinemática vetorial) Em um microscópio de fluorescência, a posição de uma célula em um microcanal é dada por
\vec{r}(t)=(2 t) \hat{i}+\left(3 t^{2}\right) \hat{j}
com t em segundos e as coordenadas em micrômetros.
(a) Determine as componentes da velocidade vetorial.
(b) Calcule o módulo da velocidade no instante t=2 s.

Passo 1

O enunciado fornece a posição da célula no plano como
\vec{r}(t)=(2t)\,\hat{i}+\bigl(3t^{2}\bigr)\,\hat{j},
com t em segundos e as coordenadas em micrômetros. Ele pede duas coisas:
  1. (a) Determinar as componentes da velocidade vetorial.
  2. (b) Calcular o módulo da velocidade no instante t=2\\ \text{s}.
Informações relevantes dadas: a expressão de \vec{r}(t), a unidade do tempo ( \text{s}) e a unidade do espaço ( \mu\text{m}).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo. Em notação,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}.
Isto significa que devemos derivar cada componente de \vec{r}(t) em relação a t. Regras usadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes podem sair da derivada.

Passo 3

Vamos derivar componente a componente. Para a componente x:
\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2\cdot\frac{d}{dt}(t)=2\cdot 1=2.
Para a componente y:
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=3\cdot(2t)=6t.
Portanto a velocidade vetorial é
\vec{v}(t)=2\,\hat{i}+(6t)\,\hat{j}.
As componentes, com unidades, são v_{x}(t)=2\\ \mu\text{m}/\text{s} e v_{y}(t)=6t\\ \mu\text{m}/\text{s}.

Passo 4

Agora a fórmula para o módulo (comprimento) de um vetor no plano: se \vec{v}=v_{x}\,\hat{i}+v_{y}\,\hat{j}, então
\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}.
Isto vem do Teorema de Pitágoras aplicado à decomposição do vetor nas direções x e y.

Passo 5

Aplicando essa fórmula às componentes que encontramos:
\lvert\vec{v}(t)\rvert=\sqrt{(2)^{2}+(6t)^{2}}=\sqrt{4+36t^{2}}.
Podemos fatorar 4 para simplificar:
\lvert\vec{v}(t)\rvert=2\sqrt{1+9t^{2}}.

Passo 6

Avaliaremos em t=2\\ \text{s}. Primeiro calcule 1+9t^{2}:
1+9(2)^{2}=1+9\cdot 4=1+36=37.
Logo
\lvert\vec{v}(2)\rvert=2\sqrt{37}\\ \mu\text{m}/\text{s}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{37}\approx 6{,}0828, então
\lvert\vec{v}(2)\rvert\approx 12{,}17\\ \mu\text{m}/\text{s}.
Boa! Você já consegue aplicar isso rápido na prova: derive componente a componente e use Pitágoras.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=2\,\hat{i}+(6t)\,\hat{j}, com v_{x}(t)=2\\ \mu\text{m}/\text{s} e v_{y}(t)=6t\\ \mu\text{m}/\text{s}.\n
(b) \displaystyle \lvert\vec{v}(2)\rvert=2\sqrt{37}\\ \mu\text{m}/\text{s}\approx 12{,}17\\ \mu\text{m}/\text{s}.

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