Encontre o valor mínimo do ângulo
entre
e a direção
para um elétron num átomo que tem:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor mínimo do ângulo
entre o vetor momento angular orbital
e a direção
para um elétron que tem
.
Informações dadas e relevantes:
o número quântico orbital é
.
os possíveis valores do número quântico magnético são
.
precisamos relacionar a componente
de
com o ângulo
entre
e o eixo
.
Nada mais será assumido aqui — a partir do passo seguinte eu explico as fórmulas e como aplicá‑las.
Informações dadas e relevantes:
Nada mais será assumido aqui — a partir do passo seguinte eu explico as fórmulas e como aplicá‑las.
Passo 2
Conceito fundamental (explicação didática): em mecânica quântica o momento angular orbital
não é um vetor clássico com direção completamente contínua. Temos duas quantizações importantes: o módulo de
e a sua projeção no eixo
. As expressões são:
onde
é o número quântico orbital (aqui
),
é o número quântico magnético (inteiro entre
e
), e
é a constante de Planck reduzida.
Explicação das variáveis: é o comprimento (magnitude) do vetor momento angular;
é a componente desse vetor na direção
;
determina quantizados possíveis valores de
.
Explicação das variáveis:
Passo 3
Relação geométrica entre
,
e o ângulo
: projetando o vetor
sobre o eixo
temos a relação clássica
Aqui
é o ângulo entre
e a direção
. Substituindo as expressões quânticas, obtemos:
Cancelando
,
Explicação: essa fórmula mostra que, para cada valor permitido de
, há um correspondente “cone” de direção de
com cosseno dado por essa razão.
Passo 4
Para achar o ângulo mínimo
entre
e
, precisamos maximizar
(porque
é decrescente em
). Pela fórmula acima,
fica maior quando
é o maior possível. Como
varia entre
e
, o maior valor de
é
. Portanto escolha
para obter
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
temos:
Explicação: simplificamos
.
Passo 6
Agora plugamos o valor específico
. Primeiro a fórmula:
Portanto
Lembrando valores trigonométricos conhecidos,
. Logo
Passo 7
Verificação numérica alternativa (opção para quem prefere ver contas numéricas): calcular
e
separadamente:
Logo
o que dá novamente
(ou em radianos
).