Encontre o valor mínimo do ângulo \theta entre L e a direção +z para um elétron num átomo que tem:
l=3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor mínimo do ângulo \theta entre o vetor momento angular orbital \mathbf{L} e a direção +z para um elétron que tem l=3.
Informações dadas e relevantes:
\;1.\; o número quântico orbital é \;l=3.
\;2.\; os possíveis valores do número quântico magnético são \;m=-l,-l+1,\dots,l.
\;3.\; precisamos relacionar a componente L_z de \mathbf{L} com o ângulo \theta entre \mathbf{L} e o eixo z.
Nada mais será assumido aqui — a partir do passo seguinte eu explico as fórmulas e como aplicá‑las.

Passo 2

Conceito fundamental (explicação didática): em mecânica quântica o momento angular orbital \mathbf{L} não é um vetor clássico com direção completamente contínua. Temos duas quantizações importantes: o módulo de \mathbf{L} e a sua projeção no eixo z. As expressões são:
|\mathbf{L}| = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar,
L_z = m\,\hbar,
onde \;l é o número quântico orbital (aqui l=3), \;m é o número quântico magnético (inteiro entre -l e l), e \hbar é a constante de Planck reduzida.
Explicação das variáveis: \;|\mathbf{L}| é o comprimento (magnitude) do vetor momento angular; \;L_z é a componente desse vetor na direção z; \;m determina quantizados possíveis valores de L_z.

Passo 3

Relação geométrica entre L_z, |\mathbf{L}| e o ângulo \theta: projetando o vetor \mathbf{L} sobre o eixo z temos a relação clássica
L_z = |\mathbf{L}|\cos\theta.
Aqui \theta é o ângulo entre \mathbf{L} e a direção +z. Substituindo as expressões quânticas, obtemos:
m\,\hbar = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar\cos\theta.
Cancelando \hbar,
\cos\theta = \frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}.
Explicação: essa fórmula mostra que, para cada valor permitido de m, há um correspondente “cone” de direção de \mathbf{L} com cosseno dado por essa razão.

Passo 4

Para achar o ângulo mínimo \theta_{\min} entre \mathbf{L} e +z, precisamos maximizar \cos\theta (porque \cos é decrescente em [0,\pi]). Pela fórmula acima, \cos\theta fica maior quando m é o maior possível. Como m varia entre -l e l, o maior valor de m é \;m=l. Portanto escolha m=l para obter \theta_{\min}.

Passo 5

Substituindo m=l na expressão de \cos\theta temos:
\cos\theta_{\min} = \frac{l}{\sqrt{l(l+1)}} = \sqrt{\frac{l}{l+1}}.
Explicação: simplificamos \dfrac{l}{\sqrt{l(l+1)}} = \dfrac{\sqrt{l}}{\sqrt{l+1}} = \sqrt{\dfrac{l}{l+1}}.

Passo 6

Agora plugamos o valor específico \;l=3. Primeiro a fórmula:
\cos\theta_{\min} = \sqrt{\frac{3}{3+1}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\theta_{\min} = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Lembrando valores trigonométricos conhecidos, \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
\theta_{\min} = 30^\circ.

Passo 7

Verificação numérica alternativa (opção para quem prefere ver contas numéricas): calcular |\mathbf{L}| e L_z separadamente:
|\mathbf{L}| = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt{3\cdot4}\,\hbar = 2\sqrt{3}\,\hbar,
L_z = l\,\hbar = 3\,\hbar.
Logo
\cos\theta_{\min} = \frac{L_z}{|\mathbf{L}|} = \frac{3\,\hbar}{2\sqrt{3}\,\hbar} = \frac{\sqrt{3}}{2},
o que dá novamente \theta_{\min}=30^\circ (ou em radianos \theta_{\min}=\pi/6).

Resposta

\theta_{\min}=30^\circ = \pi/6

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