Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com
de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Determine se a velocidade do elétron é relativística.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron que está preso dentro de um tubo bem estreito, com 3 metros de comprimento, e o tubo age como um poço de potencial unidimensional infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica quântica, especificamente envolvendo partículas em potenciais confinados. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg e algumas fórmulas básicas da física quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber com precisão absoluta a posição e o momento (quantidade de movimento) de uma partícula ao mesmo tempo. A fórmula é:
Aqui,
é a incerteza na posição e
é a incerteza no momento. Já
é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente
.
Passo 3
No nosso caso, o elétron está confinado dentro de um tubo de comprimento
. Vamos considerar que a incerteza na posição
é aproximadamente o comprimento do tubo, ou seja,
.
Aplicando o princípio da incerteza:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade, usamos a relação entre o momento
e a velocidade
:
Aqui,
é a massa do elétron, que é aproximadamente
. Rearranjando a fórmula para encontrar a velocidade:
Usando a incerteza no momento como uma estimativa para a velocidade mínima:
Passo 5
Agora, queremos saber se essa velocidade é relativística. Para isso, comparamos com a velocidade da luz
. Se a velocidade do elétron for uma fração significativa de
, ela é relativística.
Calculando a razão:
Resposta
A velocidade do elétron é de aproximadamente
, o que é muito menor que a velocidade da luz. Portanto, a velocidade do elétron não é relativística.