Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com 3,0 m de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Determine se a velocidade do elétron é relativística.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron que está preso dentro de um tubo bem estreito, com 3 metros de comprimento, e o tubo age como um poço de potencial unidimensional infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica quântica, especificamente envolvendo partículas em potenciais confinados. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg e algumas fórmulas básicas da física quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber com precisão absoluta a posição e o momento (quantidade de movimento) de uma partícula ao mesmo tempo. A fórmula é:
Aqui, De é a incerteza na posição e De é a incerteza no momento. Já hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,054 times 10^-34 J cdot s.

Passo 3

No nosso caso, o elétron está confinado dentro de um tubo de comprimento L = 3,0 m. Vamos considerar que a incerteza na posição De é aproximadamente o comprimento do tubo, ou seja, De.
Aplicando o princípio da incerteza:

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade, usamos a relação entre o momento p e a velocidade v:
p = m v
Aqui, m é a massa do elétron, que é aproximadamente 9,11 times 10^-31 kg. Rearranjando a fórmula para encontrar a velocidade:
v = pm
Usando a incerteza no momento como uma estimativa para a velocidade mínima:
v >= De

Passo 5

Agora, queremos saber se essa velocidade é relativística. Para isso, comparamos com a velocidade da luz c approx 3,0 times 10^8 m/s. Se a velocidade do elétron for uma fração significativa de c, ela é relativística.
Calculando a razão:
vc approx 1,93 times 10^-5 m/s3,0 times 10^8 m/s approx 6,43 times 10^-14

Resposta

A velocidade do elétron é de aproximadamente 1,93 times 10^-5 m/s, o que é muito menor que a velocidade da luz. Portanto, a velocidade do elétron não é relativística.

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