Em nossas pesquisas sobre dispositivos sólidos, estudamos uma estrutura sólida que pode ser modelada com precisão como um elétron em um poço potencial unidimensional infinito de comprimento
. Em uma de nossas experiências, radiação eletromagnética é absorvida em transições onde o estado inicial é o estado fundamental
. Medimos que a luz com frequência
é absorvida e que o próximo valor de frequência absorvida é
. Qual é o maior comprimento de onda que a luz pode ser absorvida por um elétron se ele está inicialmente no estado
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron num poço potencial unidimensional infinito com comprimento $ L $. A gente mede duas frequências de radiação $ f_1 = 9,0 \times 10^{14} , Hz $ e $ f_2 = 16,9 \times 10^{14} , Hz $ que são absorvidas quando o elétron faz transições a partir do estado fundamental $ n=1 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior comprimento de onda que essa luz pode ter quando o elétron absorve energia partindo do estado $ n=1 $. Vamos precisar usar conceitos de física quântica sobre níveis de energia em poços potenciais e relações entre energia e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a energia dos elétrons funciona nesse poço potencial. Em um poço infinito unidimensional, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível $ n $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa do elétron, e $ L $ é o comprimento do poço. As transições de energia ocorrem quando o elétron absorve ou emite um fóton, e a energia do fóton é igual à diferença entre os níveis de energia inicial e final.
Passo 3
A energia de um fóton está relacionada à sua frequência $ f $ pela relação:
Onde $ h $ é a constante de Planck. Assim, a diferença de energia entre dois níveis $ n $ e $ m $ é:
Vamos considerar as duas transições que foram medidas:
- Primeira transição: de $ n=1 $ para $ n=2 $:
- Segunda transição: de $ n=1 $ para $ n=3 $:
Usando a fórmula dos níveis de energia, substituímos $ E_n $:
Resolvendo essas equações para $ L $, podemos encontrar o comprimento do poço.
Passo 4
Após calcular $ L $ a partir das equações acima, podemos encontrar o maior comprimento de onda $ \lambda_{máx} $ usando a relação entre comprimento de onda e frequência:
Onde $ c $ é a velocidade da luz. O maior comprimento de onda corresponde à menor frequência absorvida, que é $ f_1 = 9,0 \times 10^{14} , Hz $. Calculando:
Resposta
O maior comprimento de onda que a luz pode ter para ser absorvida pelo elétron no estado $ n=1 $ é aproximadamente $ 3,33 \times 10^{-7} , metros $.