Em nossas pesquisas sobre dispositivos sólidos, estudamos uma estrutura sólida que pode ser modelada com precisão como um elétron em um poço potencial unidimensional infinito de comprimento L. Em uma de nossas experiências, radiação eletromagnética é absorvida em transições onde o estado inicial é o estado fundamental n=1. Medimos que a luz com frequência f=9,0 times 10^14 Hz é absorvida e que o próximo valor de frequência absorvida é f=16,9 times 10^14 Hz. Qual é o maior comprimento de onda que a luz pode ser absorvida por um elétron se ele está inicialmente no estado n=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron num poço potencial unidimensional infinito com comprimento $ L $. A gente mede duas frequências de radiação $ f_1 = 9,0 \times 10^{14} , Hz $ e $ f_2 = 16,9 \times 10^{14} , Hz $ que são absorvidas quando o elétron faz transições a partir do estado fundamental $ n=1 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior comprimento de onda que essa luz pode ter quando o elétron absorve energia partindo do estado $ n=1 $. Vamos precisar usar conceitos de física quântica sobre níveis de energia em poços potenciais e relações entre energia e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia dos elétrons funciona nesse poço potencial. Em um poço infinito unidimensional, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível $ n $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa do elétron, e $ L $ é o comprimento do poço. As transições de energia ocorrem quando o elétron absorve ou emite um fóton, e a energia do fóton é igual à diferença entre os níveis de energia inicial e final.

Passo 3

A energia de um fóton está relacionada à sua frequência $ f $ pela relação:
f
Onde $ h $ é a constante de Planck. Assim, a diferença de energia entre dois níveis $ n $ e $ m $ é:
E = h f
Vamos considerar as duas transições que foram medidas:
  1. Primeira transição: de $ n=1 $ para $ n=2 $:
h
  1. Segunda transição: de $ n=1 $ para $ n=3 $:
n
Usando a fórmula dos níveis de energia, substituímos $ E_n $:
m
Em - En = h f
Resolvendo essas equações para $ L $, podemos encontrar o comprimento do poço.

Passo 4

Após calcular $ L $ a partir das equações acima, podemos encontrar o maior comprimento de onda $ \lambda_{máx} $ usando a relação entre comprimento de onda e frequência:
L
Onde $ c $ é a velocidade da luz. O maior comprimento de onda corresponde à menor frequência absorvida, que é $ f_1 = 9,0 \times 10^{14} , Hz $. Calculando:
lambdamáx á

Resposta

O maior comprimento de onda que a luz pode ter para ser absorvida pelo elétron no estado $ n=1 $ é aproximadamente $ 3,33 \times 10^{-7} , metros $.

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