Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo psi(x)=A e^-a x para x>0 e psi(x)=A e^a x para x<0.
Achar a probabilidade, e fazer o gráfico, de o elétron estar entre x e x+d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de um elétron estar entre uma posição $ x $ e $ x + dx $, dado que a função de onda dele é x para $ x > 0 $ e x + dx para $ x < 0 $. Esse problema está dentro do conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente na parte sobre funções de onda e probabilidades de localização. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade a partir da função de onda e também como normalizar essa função para encontrar o valor da constante $ A $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição é dada pelo quadrado do módulo da função de onda. Ou seja, a densidade de probabilidade $ P(x) $ é:
P(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $ para os dois casos de $ x $:
Para $ x > 0 $:
|psi(x)|^2
Para $ x < 0 $:
x

Passo 4

Antes de calcular a probabilidade, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral de $ |\psi(x)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
|psi(x)|^2
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes: de $ -\infty $ a 0 e de 0 a $ \infty $.

Passo 5

Calculando a integral de $ -\infty $ a 0:
-infty

Passo 6

Calculando a integral de 0 a $ \infty $:
infty

Passo 7

Somando as duas integrais para normalizar:
A^22a + A^22a = A^2a = 1 implies A^2 = a implies A = raiza

Passo 8

Agora que encontramos $ A = \sqrt{a} $, vamos substituir de volta na expressão de $ |\psi(x)|^2 $:
Para $ x > 0 $:
A = raiza
Para $ x < 0 $:
|psi(x)|^2

Passo 9

A probabilidade de encontrar o elétron entre $ x $ e $ x + dx $ é então:
x

Passo 10

Para fazer o gráfico dessa probabilidade, podemos representar $ P(x) $ em função de $ x $. Para $ x > 0 $, a função decai exponencialmente, e para $ x < 0 $, também decai exponencialmente, mas no sentido oposto. O gráfico será simétrico em relação à origem, mostrando picos de probabilidade próximos a $ x = 0 $ que diminuem à medida que nos afastamos dessa posição.

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre $ x $ e $ x + dx $ é dada por:
x
O gráfico dessa função mostra uma distribuição simétrica em torno de $ x = 0 $, com a probabilidade decaindo exponencialmente à medida que nos afastamos da origem.

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