Um elétron é representado pela função de onda independente do tempo
para
e
para
.
Achar a probabilidade, e fazer o gráfico, de o elétron estar entre
e
.
Achar a probabilidade, e fazer o gráfico, de o elétron estar entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de um elétron estar entre uma posição $ x $ e $ x + dx $, dado que a função de onda dele é
para $ x > 0 $ e
para $ x < 0 $. Esse problema está dentro do conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente na parte sobre funções de onda e probabilidades de localização. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade a partir da função de onda e também como normalizar essa função para encontrar o valor da constante $ A $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição é dada pelo quadrado do módulo da função de onda. Ou seja, a densidade de probabilidade $ P(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $ para os dois casos de $ x $:
Para $ x > 0 $:
Para $ x < 0 $:
Passo 4
Antes de calcular a probabilidade, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral de $ |\psi(x)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes: de $ -\infty $ a 0 e de 0 a $ \infty $.
Passo 5
Calculando a integral de $ -\infty $ a 0:
Passo 6
Calculando a integral de 0 a $ \infty $:
Passo 7
Somando as duas integrais para normalizar:
Passo 8
Agora que encontramos $ A = \sqrt{a} $, vamos substituir de volta na expressão de $ |\psi(x)|^2 $:
Para $ x > 0 $:
Para $ x < 0 $:
Passo 9
A probabilidade de encontrar o elétron entre $ x $ e $ x + dx $ é então:
Passo 10
Para fazer o gráfico dessa probabilidade, podemos representar $ P(x) $ em função de $ x $. Para $ x > 0 $, a função decai exponencialmente, e para $ x < 0 $, também decai exponencialmente, mas no sentido oposto. O gráfico será simétrico em relação à origem, mostrando picos de probabilidade próximos a $ x = 0 $ que diminuem à medida que nos afastamos dessa posição.
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron entre $ x $ e $ x + dx $ é dada por:
O gráfico dessa função mostra uma distribuição simétrica em torno de $ x = 0 $, com a probabilidade decaindo exponencialmente à medida que nos afastamos da origem.