Um feixe de luz vermelha de comprimento de onda igual a 642 nm passa por uma fenda com largura de 0,310 mm. A figura de difração é observada sobre uma tela situada a uma distância de 4,00 m da fenda. Defina a largura de uma franja brilhante como a distância entre os dois mínimos existentes de cada lado da respectiva franja. Qual é a largura da primeira franja brilhante situada de cada lado da franja central?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de difração da luz em uma fenda simples. Isso envolve estudar como a luz se espalha quando passa por uma fenda estreita. No problema, temos:
  • Comprimento de onda da luz vermelha: lambda = 642 nm
  • Largura da fenda: a = 0,310 mm
  • Distância da fenda até a tela: L = 4,00 m
Queremos descobrir qual é a largura da primeira franja brilhante de cada lado da franja central na tela.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar nossos cálculos:
  • lambda = 642 nm = 642 times 10^-9 metros
  • a = 0,310 mm = 0,310 times 10^-3 metros

Passo 3

Agora, vamos lembrar um pouco da teoria. Quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se difrata e forma um padrão de franjas brilhantes e escuras na tela. As posições dos mínimos (franjas escuras) são dadas pela fórmula:
a sin theta = m lambda
onde:
  • a é a largura da fenda,
  • theta é o ângulo em relação à direção original da luz,
  • m é um inteiro (não zero) que indica a ordem do mínimo.

Passo 4

Para pequenas angulações, que é o caso quando a distância L é muito maior que a largura da fenda, podemos aproximar sin theta approx tan theta approx theta. Além disso, a posição y do mínimo na tela está relacionada ao ângulo theta por:
y = L tan theta approx L theta
Então, combinando as fórmulas, temos:
y = m lambda La

Passo 5

Estamos interessados na primeira franja brilhante de cada lado, que fica entre o mínimo m=1 de cada lado da franja central. A largura dessa franja será o dobro da posição do primeiro mínimo, pois temos um mínimo de cada lado.
Então, a largura w da primeira franja brilhante é:
w = 2y = 2 ( lambda La )

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
w = 2 times 642 times 10^-9 , m times 4,00 , m0,310 times 10^-3 , m

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando lambda por L:
    642 times 10^-9 times 4,00 = 2568 times 10^-9 , m^2
  2. Dividindo pelo valor da fenda:
    2568 times 10^-90,310 times 10^-3 approx 8,290 times 10^-3 , m
  3. Multiplicando por 2:
    2 times 8,290 times 10^-3 = 16,580 times 10^-3 , m

Passo 8

Convertendo para centímetros, já que é uma medida mais intuitiva para visualizar na tela:
16,580 times 10^-3 , m = 1,658 , cm

Resposta

A largura da primeira franja brilhante situada de cada lado da franja central é aproximadamente 1{,}66 cm.

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