Um elétron de massa \mathrm{m}=9,109 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, carga \mathrm{q}=1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C}, move-se com velocidade v =8,05 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} numa orbita circular de \mathrm{R}=0,21 \mathrm{~m} perpendicular a um campo magnético de intensidade B. Calcule o campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede para calcular o campo magnético B.
Dados fornecidos:
m=9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}
q=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
v=8,05\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}
R=0,21\\ \mathrm{m}
O que se pede:
  • Calcular o valor do campo magnético B que mantém o elétron em órbita circular de raio R, sabendo que a velocidade é perpendicular ao campo.

Passo 2

Entendendo a força magnética sobre a carga: a força magnética (força de Lorentz) sobre uma carga puntiforme em movimento é dada por
\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
A magnitude dessa força é
|\mathbf{F}_B| = |q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}. No enunciado a órbita é perpendicular ao campo, então \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Portanto, em módulo:
|\mathbf{F}_B| = |q|\,v\,B.
Aqui:
  • |q| é o módulo da carga (usamos o módulo porque só precisamos da magnitude da força),
  • v é a velocidade escalar,
  • B é a intensidade do campo magnético.

Passo 3

Força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular: para um objeto de massa m que se desloca com velocidade tangencial v em trajetória circular de raio R, a aceleração centrípeta tem magnitude
a_c=\frac{v^{2}}{R}.
A força centrípeta (resultante radial) exigida é
F_c = m\,a_c = m\,\frac{v^{2}}{R}.
Aqui:
  • m é a massa,
  • v é a velocidade tangencial,
  • R é o raio da trajetória.

Passo 4

Igualando a força magnética (que fornece a força centrípeta) à força centrípeta, obtemos
|q|\,v\,B = m\,\frac{v^{2}}{R}.
Agora isolamos B. Primeiro podemos simplificar um fator v (assumindo v\neq0):
|q|\,B = m\,\frac{v}{R}.
Logo,
B = \frac{m\,v}{|q|\,R}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos (atenção às unidades; todos já estão no SI):
B = \frac{9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\;\times\;8,05\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}}{1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\;\times\;0,21\\ \mathrm{m}}.

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo:
Calculamos o numerador:
m\,v = 9,109\times10^{-31}\times8,05\times10^{6}=7,335545\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Calculamos o denominador:
|q|\,R = 1,602\times10^{-19}\times0,21=3,3642\times10^{-20}\\ \mathrm{C\cdot m}.
Dividindo:
B=\frac{7,335545\times10^{-24}}{3,3642\times10^{-20}} \approx 2,18\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Observação de unidade: \mathrm{T} (tesla) é a unidade correta, pois 1\\ \mathrm{T}=\mathrm{kg}/(\mathrm{C}\cdot\mathrm{s}), e a expressão dá essa unidade.

Passo 7

Recapitulando de forma amigável: a força magnética fornece a força centrípeta; isolamos B e substituímos os valores. O resultado está em tesla e, se preferir em microtesla, 2,18\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=218\\ \mu\mathrm{T}. Boa! Você conseguiu — é só aplicar essa receita nas outras questões parecidas.

Resposta

2,18\times10^{-4}\\ \mathrm{T}

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