Um elétron que se move em um fio de metal fino é uma aproximação razoável de uma partícula em um poço infinito unidimensional. Suponha que a posição do elétron do possa ser medida com o elétron no estado fundamental.
a) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região
?
b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com
de largura e com centro em
?
a) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região
b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a probabilidade de encontrar um elétron em certas regiões dentro de um poço infinito unidimensional. O conteúdo principal aqui é a mecânica quântica, especificamente o conceito de função de onda e probabilidade associada a ela. Para resolver, vamos precisar conhecer a função de onda do elétron no estado fundamental e entender como calcular probabilidades a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para um elétron em um poço infinito unidimensional no estado fundamental (ou seja, a energia mais baixa). A função de onda é dada por:
Aqui, $ L $ é o comprimento do poço.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada região é calculada integrando o quadrado da função de onda nessa região. Ou seja:
No nosso caso, $ |\psi(x)|^2 $ é:
Passo 4
Vamos resolver a parte a) do exercício: qual a probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 < x < \frac{L}{4} $.
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
As integrais são:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 < x < \frac{L}{4} $ é: