Um elétron que se move em um fio de metal fino é uma aproximação razoável de uma partícula em um poço infinito unidimensional. Suponha que a posição do elétron do possa ser medida com o elétron no estado fundamental.
a) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região 0 ?
b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com De de largura e com centro em x=5 L / 8 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a probabilidade de encontrar um elétron em certas regiões dentro de um poço infinito unidimensional. O conteúdo principal aqui é a mecânica quântica, especificamente o conceito de função de onda e probabilidade associada a ela. Para resolver, vamos precisar conhecer a função de onda do elétron no estado fundamental e entender como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para um elétron em um poço infinito unidimensional no estado fundamental (ou seja, a energia mais baixa). A função de onda é dada por:
psi(x) = raiz2L sin(pi xL)
Aqui, $ L $ é o comprimento do poço.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada região é calculada integrando o quadrado da função de onda nessa região. Ou seja:
P(a <= x <= b) = integrala^b |psi(x)|^2 dx
No nosso caso, $ |\psi(x)|^2 $ é:
|psi(x)|^2

Passo 4

Vamos resolver a parte a) do exercício: qual a probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 < x < \frac{L}{4} $.
Aplicando a fórmula da probabilidade:
0 < x < L4

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na integral:
P = integral0^L4 2L cdot 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L integral0^L4 (1 - cos(2pi xL)) dx

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
1L [ integral0^L4 1 , dx - integral0^L4 cos(2pi xL) dx ]
As integrais são:
integral 1 , dx = x integral cos(2pi xL) dx = L2pi sin(2pi xL)

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
P = 1L [ x |0^L4 - L2pi sin(2pi xL) |0^L4 ] = 1L [ L4 - L2pi ( sin(pi2) - sin(0) ) ] = 1L [ L4 - L2pi cdot 1 ] = 14 - 12pi

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na região $ 0 < x < \frac{L}{4} $ é:
0 < x < L4

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