Uma pequena bola de massa m é alinhada sobre uma bola de massa M=0,63 kg. Imagine que é uma bola de tênis sobre uma bola de basquete, com uma mínima separação entre elas, que são deixadas cair juntas a partir de uma altura de h=1,8 m. Suponha que as dimensões de ambas as bolas são desprezáveis frente a altura h. a) Se a bola maior repica de forma elástica no solo, e a bola menor também repica de forma elástica na bola maior, que valor de m resultaria na bola maior parando quando colidisse com a bola menor? b) Que altura a bola menor alcançaria nessa situação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos duas bolas: uma maior com massa $ M = 0,63 , kg $ (tipo uma bola de basquete) e uma menor com massa $ m $ (como uma bola de tênis) empilhadas uma sobre a outra. As duas são deixadas cair de uma altura de $ h = 1,8 , m $. Queremos descobrir:
a) Qual deve ser o valor de $ m $ para que, após as colisões elásticas com o solo e entre as bolas, a bola maior pare completamente quando colidir com a menor?
b) Qual altura a bola menor alcançaria nessa situação?
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma colisão elástica. Em uma colisão totalmente elástica, tanto a energia cinética quanto o momento linear são conservados. Isso significa que, após a colisão, a soma das energias cinéticas e dos momentos antes da colisão é igual à soma após.

Passo 3

Quando as bolas são deixadas cair, ambas ganham velocidade devido à queda livre. No momento em que atingem o solo, a bola maior colide elasticamente com o solo e começa a subir. Como a colisão é elástica, a bola maior reverte sua velocidade sem perder energia.

Passo 4

Agora, quando a bola maior está subindo e encontra a bola menor que estava inicialmente em repouso, ocorre uma colisão entre as duas bolas. Queremos que, após essa colisão, a bola maior pare completamente. Para que isso aconteça, aplicamos as fórmulas de colisão elástica.
A fórmula para a velocidade final $ v’ $ de um objeto após uma colisão elástica é:
v'
Onde:
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das bolas,
  • $ v_1 $ e $ v_2 $ são as velocidades antes da colisão.
Queremos que a velocidade final da bola maior seja zero. Assim, substituímos $ v’ = 0 $ e resolvemos para $ m $.

Passo 5

Aplicando a condição $ v’ = 0 $:
v' = 0
Como a bola menor está inicialmente em repouso ($ v_m = 0 $):
0 = (M - m)M + m vM + 2mM + m vm
Para que isso seja verdade, o numerador deve ser zero:
vm = 0
Mas isso não faz sentido físico no contexto, então precisamos reconsiderar a situação. Na verdade, após a colisão com o solo, a bola maior terá uma velocidade para cima igual a $ v_M = \sqrt{2gh} $.
Igualando as velocidades após a colisão, e resolvendo para $ m $, chegamos à relação correta:
0 = (M - m)M + m vM

Resposta

a) A massa $ m $ deve ser igual a metade da massa da bola maior, ou seja, $ m = 0,315 , kg $.
b) Com essa massa, a bola menor alcançaria uma altura de $ h = 1,8 , m $.

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