Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação de um campo de forças unidimensional conservativo, descrito pelo potencial U(x)=U_{0}\left[(x / a)^{4}-2(x / a)^{2}\right], em que U_{0}> 0 e \mathrm{a}>0 são constantes reais.
A partícula é lançada a partir da posição \mathrm{x}=0 \mathrm{com} velocidade inicial \mathrm{v}_{0}, em um sistema isolado, sem forças dissipativas.
Considere valores de \mathrm{v}_{0} tais que o movimento seja limitado e que a partícula execute oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema.
Determine a frequência angular \omega dessas pequenas oscilações e assinale a alternativa CORRETA.
a) \omega=\left[\left(4 U_{0}\right) /\left(m a^{2}\right)\right]^{1 / 2}.
b) \omega=\left[\left(24 U_{0}\right) /\left(m a^{2}\right)\right]^{1 / 2}.
c) \quad \omega=\left[\left(16 U_{0}\right) /\left(m a^{2}\right)\right]^{1 / 2}.
d) \omega=\left[\left(12 U_{0}\right) /\left(m a^{2}\right)\right]^{1 / 2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Potencial: U(x)=U_{0}\left[\left(\dfrac{x}{a}\right)^{4}-2\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}\right], com U_{0}>0 e a>0.
  • A partícula tem massa m e é lançada de x=0 com velocidade inicial v_{0}. O sistema é isolado e não há dissipação.
  • Consideramos valores de v_{0} tais que o movimento é limitado e, mais especificamente, decidimos estudar oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema.
  • O que o enunciado pede: determinar a frequência angular \omega dessas pequenas oscilações e, em seguida, identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) é correta.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio: equilibria ocorrem quando a força é zero, ou seja quando U'(x)=0. Vou calcular U'(x) passo a passo.
U(x)=U_{0}\!\left(\dfrac{x^{4}}{a^{4}}-2\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right).
Derivando em relação a x:
U'(x)=U_{0}\left(\dfrac{4x^{3}}{a^{4}}- \dfrac{4x}{a^{2}}\right).

Passo 3

Resolver U'(x)=0:
U'(x)=\dfrac{4U_{0}}{a^{4}}\,x\,(x^{2}-a^{2})=0.
Logo os pontos críticos são
x=0,\qquad x=+a,\qquad x=-a.

Passo 4

Classificar estabilidade: para isso calculamos U''(x) e avaliamos nos pontos críticos. Primeiro a expressão geral de U''(x):
U''(x)=U_{0}\left(\dfrac{12x^{2}}{a^{4}}-\dfrac{4}{a^{2}}\right).

Passo 5

Avaliar U'' nos pontos críticos:
  • Em x=0:
U''(0)=U_{0}\left(0-\dfrac{4}{a^{2}}\right)=-\dfrac{4U_{0}}{a^{2}}<0,
portanto x=0 é um ponto de equilíbrio instável (máximo do potencial).
  • Em x=\pm a:
U''(\pm a)=U_{0}\left(\dfrac{12a^{2}}{a^{4}}-\dfrac{4}{a^{2}}\right) =U_{0}\left(\dfrac{12}{a^{2}}-\dfrac{4}{a^{2}}\right) =\dfrac{8U_{0}}{a^{2}}>0,
portanto x=\pm a são pontos de equilíbrio estáveis (mínimos do potencial). Como o enunciado pede oscilações em torno de um dos pontos de equilíbrio estável, vamos trabalhar com x_{\rm eq}=+a (o cálculo é idêntico para -a).

Passo 6

Teoria necessária para pequenas oscilações (aula rápida e prática):
Quando a partícula executa pequenas oscilações em torno de um mínimo x_{\rm eq} do potencial, podemos fazer a expansão de Taylor de U(x) em torno de x_{\rm eq}:
U(x)\approx U(x_{\rm eq}) + \dfrac{1}{2}U''(x_{\rm eq})\,(x-x_{\rm eq})^{2} + \text{termos de ordem superior}.
Para oscilações de pequena amplitude os termos de ordem superior são desprezíveis e o sistema se comporta como um oscilador harmônico eficaz com constante elástica
k_{\rm eff}=U''(x_{\rm eq}).
A equação de movimento (segunda lei de Newton) linearizada fica
m\ddot{\xi} + k_{\rm eff}\,\xi = 0,
onde \xi=x-x_{\rm eq} é o deslocamento pequeno em relação ao equilíbrio. A solução é harmônica com frequência angular
\omega = \sqrt{\dfrac{k_{\rm eff}}{m}} = \sqrt{\dfrac{U''(x_{\rm eq})}{m}}.
Observação concreta: aqui U''(x_{\rm eq}) é exatamente a derivada segunda do potencial no ponto de equilíbrio, e tem dimensão de energia por comprimento ao quadrado, de modo que U''/m tem dimensão de (\text{tempo})^{-2}, apropriada para \omega^{2}.

Passo 7

Aplicar a fórmula ao nosso caso: já encontramos U''(x_{\rm eq})=\dfrac{8U_{0}}{a^{2}} em x_{\rm eq}=\pm a. Logo
\omega=\sqrt{\dfrac{U''(x_{\rm eq})}{m}}=\sqrt{\dfrac{8U_{0}}{m a^{2}}}.
Esse é o valor da frequência angular das pequenas oscilações em torno de x=\pm a.

Passo 8

Comparação com as alternativas dadas:
  • Alternativa (a): \sqrt{\dfrac{4U_{0}}{m a^{2}}}
  • Alternativa (b): \sqrt{\dfrac{24U_{0}}{m a^{2}}}
  • Alternativa (c): \sqrt{\dfrac{16U_{0}}{m a^{2}}}
  • Alternativa (d): \sqrt{\dfrac{12U_{0}}{m a^{2}}}
Nenhuma dessas corresponde a \sqrt{\dfrac{8U_{0}}{m a^{2}}}. Portanto, a expressão correta é \omega=\sqrt{8U_{0}/(m a^{2})} e nenhuma das alternativas (a)–(d) está correta.

Resposta

\omega=\sqrt{\dfrac{8U_{0}}{m a^{2}}}
Nenhuma das alternativas (a),(b),(c) ou (d) corresponde a essa expressão.

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