Uma partícula de massa
move-se ao longo do eixo x sob a ação de um campo de forças unidimensional conservativo, descrito pelo potencial
, em que
0 e
são constantes reais.
A partícula é lançada a partir da posição
velocidade inicial
, em um sistema isolado, sem forças dissipativas.
Considere valores de
tais que o movimento seja limitado e que a partícula execute oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema.
Determine a frequência angular
dessas pequenas oscilações e assinale a alternativa CORRETA.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Potencial:
, com e . - A partícula tem massa
e é lançada de com velocidade inicial . O sistema é isolado e não há dissipação. - Consideramos valores de
tais que o movimento é limitado e, mais especificamente, decidimos estudar oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema. - O que o enunciado pede: determinar a frequência angular
dessas pequenas oscilações e, em seguida, identificar qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) é correta.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio: equilibria ocorrem quando a força é zero, ou seja quando
. Vou calcular
passo a passo.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Resolver
:
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Classificar estabilidade: para isso calculamos
e avaliamos nos pontos críticos. Primeiro a expressão geral de
:
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
portanto
é um ponto de equilíbrio instável (máximo do potencial).
- Em
:
portanto
são pontos de equilíbrio estáveis (mínimos do potencial). Como o enunciado pede oscilações em torno de um dos pontos de equilíbrio estável, vamos trabalhar com
(o cálculo é idêntico para
).
Passo 6
Teoria necessária para pequenas oscilações (aula rápida e prática):
Quando a partícula executa pequenas oscilações em torno de um mínimo
do potencial, podemos fazer a expansão de Taylor de
em torno de
:
Para oscilações de pequena amplitude os termos de ordem superior são desprezíveis e o sistema se comporta como um oscilador harmônico eficaz com constante elástica
A equação de movimento (segunda lei de Newton) linearizada fica
onde
é o deslocamento pequeno em relação ao equilíbrio. A solução é harmônica com frequência angular
Observação concreta: aqui
é exatamente a derivada segunda do potencial no ponto de equilíbrio, e tem dimensão de energia por comprimento ao quadrado, de modo que
tem dimensão de
, apropriada para
.
Passo 7
Aplicar a fórmula ao nosso caso: já encontramos
em
. Logo
Esse é o valor da frequência angular das pequenas oscilações em torno de
.
Passo 8
Comparação com as alternativas dadas:
- Alternativa (a):
- Alternativa (b):
- Alternativa (c):
- Alternativa (d):
Nenhuma dessas corresponde a
. Portanto, a expressão correta é
e nenhuma das alternativas (a)–(d) está correta.
Resposta
Nenhuma das alternativas (a),(b),(c) ou (d) corresponde a essa expressão.