Uma função está representada (em t=0) pela função de onda
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
Qual é o valor esperado de p(em t=0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com funções de onda na mecânica quântica. O objetivo é encontrar o valor esperado do momento $ p $ no instante $ t=0 $ para a função de onda dada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores em mecânica quântica e realizar algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. Na mecânica quântica, o valor esperado de um observable (como o momento $ p $) é a média que esperamos medir esse observable em um grande número de experimentos. Matematicamente, é dado por:
p
Onde $ \psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado da função de onda $ \psi(x, t) $, e $ \hat{p} $ é o operador de momento.

Passo 3

O operador de momento $ \hat{p} $ na representação de posição é definido como:
p
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos agora substituir a função de onda $ \psi(x, 0) $ na expressão do valor esperado. A função de onda é dada por:
psi(x, 0) á
Como a função é real, o complexo conjugado $ \psi^*(x, 0) $ é igual a $ \psi(x, 0) $.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o operador de momento à função de onda:
p psi(x, 0) = -ihbar ddx [A(a^2 - x^2)] = -ihbar (-2A x) = 2ihbar A x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do valor esperado:
lang<= p rang<= = integral-a^a A(a^2 - x^2) cdot 2ihbar A x , dx = 2ihbar A^2 integral-a^a x(a^2 - x^2) , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral-a^a x(a^2 - x^2) , dx = a^2 integral-a^a x , dx - integral-a^a x^3 , dx
Observando que ambas as integrais são de funções ímpares sobre intervalos simétricos ao redor de zero, ambas resultados serão zero:
a^2 [ x^22 ]-a^a = a^2 ( a^22 - a^22 ) = 0
[ x^44 ]-a^a = a^44 - a^44 = 0
Portanto:
integral-a^a x(a^2 - x^2) , dx = 0

Passo 8

Voltando à expressão do valor esperado:
lang<= p rang<= = 2ihbar A^2 cdot 0 = 0

Resposta

O valor esperado de $ p $ em $ t=0 $ é zero.

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