Uma função está representada
pela função de onda
Qual é o valor esperado de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com funções de onda na mecânica quântica. O objetivo é encontrar o valor esperado do momento $ p $ no instante $ t=0 $ para a função de onda dada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores em mecânica quântica e realizar algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. Na mecânica quântica, o valor esperado de um observable (como o momento $ p $) é a média que esperamos medir esse observable em um grande número de experimentos. Matematicamente, é dado por:
Onde $ \psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado da função de onda $ \psi(x, t) $, e $ \hat{p} $ é o operador de momento.
Passo 3
O operador de momento $ \hat{p} $ na representação de posição é definido como:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Vamos agora substituir a função de onda $ \psi(x, 0) $ na expressão do valor esperado. A função de onda é dada por:
Como a função é real, o complexo conjugado $ \psi^*(x, 0) $ é igual a $ \psi(x, 0) $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o operador de momento à função de onda:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do valor esperado:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Observando que ambas as integrais são de funções ímpares sobre intervalos simétricos ao redor de zero, ambas resultados serão zero:
Portanto:
Passo 8
Voltando à expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado de $ p $ em $ t=0 $ é zero.