Obtenha a limitação superior: \left|\int_{C_{R}} \frac{z+4 i}{z^{4}+1} d z\right| \leq \frac{\pi R(R+4)}{R^{4}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor absoluto da integral
\int_{C_{R}} \frac{z+4\,i}{z^{4}+1}\,dz
onde C_{R} é o semicírculo de raio R no semiplano superior. O conteúdo é o Lema da Estimativa (ou ML–lema) em integração complexa. Para isso, vamos precisar de:
  • comprimento de C_{R};
  • um limite superior para \bigl|z+4\,i\bigr| em \lvert z\rvert=R;
  • um limite inferior para \bigl|z^{4}+1\bigr| em \lvert z\rvert=R.

Passo 2

Em \lvert z\rvert=R, a curva C_{R} é um semicírculo de comprimento
\text{length}(C_{R}) = \pi\,R.

Passo 3

Para o numerador, usamos a desigualdade triangular: se \lvert z\rvert=R, então
\bigl|z + 4\,i\bigr|\le |z| + |4\,i| = R + 4.

Passo 4

Para o denominador, aplicamos a desigualdade reversa triangular: para \lvert z\rvert=R e R>1,
\bigl|z^{4}+1\bigr|\ge |z|^{4} - 1 = R^{4} - 1.

Passo 5

Pelo Lema da Estimativa,
\left|\int_{C_{R}} \frac{z+4\,i}{z^{4}+1}\,dz\right| \le \bigl(\max_{C_{R}}\bigl|\tfrac{z+4\,i}{z^{4}+1}\bigr|\bigr)\,\cdot \text{length}(C_{R}) \le \frac{R+4}{R^{4}-1}\,\cdot \pi\,R = \frac{\pi\,R\,(R+4)}{R^{4}-1}.

Resposta

\left|\int_{C_{R}} \frac{z+4\,i}{z^{4}+1}\,dz\right|\le \frac{\pi\,R\,(R+4)}{R^{4}-1}.

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