Obtenha a limitação superior: \left|\int_{C_{R}} \frac{z+4 i}{z^{4}+1} d z\right| \leq \frac{\pi R(R+4)}{R^{4}-1}.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o valor absoluto da integral
\int_{C_{R}} \frac{z+4\,i}{z^{4}+1}\,dz
onde C_{R} é o semicírculo de raio R no semiplano superior. O conteúdo é o Lema da Estimativa (ou ML–lema) em integração complexa. Para isso, vamos precisar de:
comprimento de C_{R};
um limite superior para \bigl|z+4\,i\bigr| em \lvert z\rvert=R;
um limite inferior para \bigl|z^{4}+1\bigr| em \lvert z\rvert=R.
Passo 2
Em \lvert z\rvert=R, a curva C_{R} é um semicírculo de comprimento
\text{length}(C_{R}) = \pi\,R.
Passo 3
Para o numerador, usamos a desigualdade triangular: se \lvert z\rvert=R, então
\bigl|z + 4\,i\bigr|\le |z| + |4\,i| = R + 4.
Passo 4
Para o denominador, aplicamos a desigualdade reversa triangular: para \lvert z\rvert=R e R>1,