Em um elevador de carros, utilizado em oficina, o ar comprimido exerce uma força em um pequeno pistão de seção transversal circular que tem raio de
. Essa pressão é transmitida por um fluido incompressível a um segundo pistão de raio
.
Considere o elevador como sistema não isolado e demonstre que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída.
Considere o elevador como sistema não isolado e demonstre que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elevador de carros que usa ar comprimido para movimentar dois pistões com diferentes raios. Queremos mostrar que a energia que entra no sistema (no primeiro pistão) é igual à energia que sai (no segundo pistão). Para isso, vamos precisar usar conceitos de pressão, área dos pistões e conservação de energia. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão ($ P
F
A $):
Como a pressão é a mesma nos dois pistões, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada pistão. A área de um círculo é dada por:
Para o primeiro pistão (raio $ r_1 = 5,00 , cm $):
Para o segundo pistão (raio $ r_2 = 15,0 , cm $):
Passo 4
Substituindo as áreas na equação da pressão:
Podemos simplificar cancelando o $ \pi $:
Multiplicando ambos os lados por 225:
Isso mostra que a força no segundo pistão é 9 vezes a força no primeiro pistão.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre energia. A energia transferida (ou trabalho realizado) é dada por:
onde $ W $ é o trabalho, $ F $ é a força e $ d $ é a distância que o pistão se move.
Como o sistema não perde energia, o trabalho feito no primeiro pistão deve ser igual ao trabalho recebido no segundo pistão:
Passo 6
Substituindo $ F_2 $ por $ 9F_1 $ na equação:
Podemos dividir ambos os lados por $ F_1 $:
Isso mostra que a distância movida pelo primeiro pistão é 9 vezes a distância movida pelo segundo pistão, garantindo que a energia transferida seja a mesma em ambos os lados.
Resposta
Concluímos que a energia transferida na entrada é igual à energia transferida na saída, pois $ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 $.