Elimine acima e abaixo dos pivôs para reduzir [llA & I] para [llI & A^-1] :
[ll A & I ]=[llllll 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A e a matriz identidade I de ordem 3, e pede para aplicarmos eliminação de Gauss–Jordan no bloco aumentado
[A mid I] =[ccc|ccc 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
de modo a obter [I mid A^-1]. O conteúdo usado é a técnica de pivôs (escalonamento completo) para encontrar inversa.

Passo 2

Fazemos o pivô na primeira linha, primeira coluna. Primeiro escalonamos a linha 1 por 12, depois eliminamos o elemento abaixo:
R1&>=ts tfrac12 , R1, R2&>=ts R2 - R1
Isso gera
[ccc|ccc 1 & tfrac12 & 0 & tfrac12 & 0 & 0[6pt] 0 & tfrac32 & 1 & -tfrac12 & 1 & 0[3pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ] ]

Passo 3

Agora pivotamos em 2,2. Dividimos R2 por tfrac32 e eliminamos as entradas acima e abaixo na coluna 2:
R2&>=ts tfrac23 , R2, R1&>=ts R1 - tfrac12 , R2, R3&>=ts R3 - R2
Obtém-se
[ccc|ccc 1 & 0 & -tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 & 0[6pt] 0 & 1 & tfrac23 & -tfrac13 & tfrac23 & 0[3pt] 0 & 0 & tfrac43 & tfrac13 & -tfrac23 & 1 ] ]

Passo 4

Finalmente pivotamos em 3,3. Dividimos R3 por tfrac43 e eliminamos acima na coluna 3:
R3&>=ts tfrac34 , R3, R1&>=ts R1 + tfrac13 , R3, R2&>=ts R2 - tfrac23 , R3
Com isso chegamos a
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac34 & -tfrac12 & tfrac14[6pt] 0 & 1 & 0 & -tfrac12 & 1 & -tfrac12[3pt] 0 & 0 & 1 & tfrac14 & -tfrac12 & tfrac34 ] ]

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = tfrac34 & -tfrac12 & tfrac14[4pt] -tfrac12 & 1 & -tfrac12[4pt] tfrac14 & -tfrac12 & tfrac34 ]

Exercícios relacionados