ELIMINE O MODULO EM CADA CASO:
|3 x+12|+|5 x-6|

Passo 1

O exercício pede para eliminar o valor absoluto da expressão |3x+12| + |5x-6|. É um problema de funções definidas por partes usando a definição de valor absoluto onde precisamos dividir o domínio em intervalos, analisar o sinal de cada parte e reescrever sem módulo.

Passo 2

Para aplicar a definição de valor absoluto, achamos os pontos onde cada argumento muda de sinal, resolvendo 3x+12=0 e 5x-6=0. Assim obtemos x=-4 e x=6/5.

Passo 3

Com esses pontos, particionamos a reta real em três intervalos: , e .

Passo 4

Em cada intervalo, verificamos o sinal de 3x+12 e 5x-6:
  • Para x<= -4: 3x+12<=0 e 5x-6<=0.
  • Para -4<= x<=6/5: 3x+12>=0 e 5x-6<=0.
  • Para x>=6/5: 3x+12>=0 e 5x-6>=0.

Passo 5

Agora substituímos cada módulo por + ou - conforme o sinal e somamos:
  • Para x<= -4: |3x+12|+|5x-6|=-(3x+12)-(5x-6)=-8x-6
  • Para -4<= x<=6/5: |3x+12|+|5x-6|=(3x+12)-(5x-6)=-2x+18
  • Para x>=6/5: |3x+12|+|5x-6|=(3x+12)+(5x-6)=8x+6

Resposta

|3x+12|+|5x-6|= -8x-6, & x<= -4, -2x+18, & -4<= x<= tfrac65, 8x+6, & x>= tfrac65

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