Elimine o módulo das expressões:
\left|1-2 x^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede para tirar o valor absoluto de \left|1-2x^2\right|, ou seja, escrever essa expressão como uma função sem módulo, usando análise de sinal do termo interno. O conteúdo aqui é estudo de sinais de uma função quadrática.

Passo 2

Encontramos onde o argumento do módulo muda de sinal, resolvendo
1-2x^2 = 0.
Isso dá
x^2 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Analisamos o sinal de 1-2x^2 nos intervalos:
  • Para \bigl|x\bigr|<\tfrac{1}{\sqrt{2}}, temos x^2<\tfrac12, logo 1-2x^2>0.
  • Para \bigl|x\bigr|>\tfrac{1}{\sqrt{2}}, temos x^2>\tfrac12, logo 1-2x^2<0.

Passo 4

Com base na análise de sinal, escrevemos
\left|1-2x^2\right|= \begin{cases} 1-2x^2, & \text{se }|x|\le\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\\\ -(1-2x^2)=2x^2-1, & \text{se }|x|>\dfrac{1}{\sqrt{2}}. \end{cases}

Resposta

\left|1-2x^2\right|= \begin{cases} 1-2x^2, & |x|\le\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\\\ 2x^2-1, & |x|>\dfrac{1}{\sqrt{2}}. \end{cases}

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