(a) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica definida por
e
. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro em curvas trigonométricas usando identidades trigonométricas e depois esboçar a curva com indicação da direção do traçado conforme
aumenta.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo duplo para o cosseno, que é
. Como
, podemos escrever
Passo 3
Portanto a curva é a porção da parábola
limitada ao intervalo de
em
, pois
só varia nesse intervalo.
Passo 4
Para esboçar, desenhe a parábola
entre
e
. No instante
, o ponto está em
. Conforme
vai de 0 a
, a parábola é percorrida de
descendo até o vértice
e subindo até
. De
a
, o ponto volta pelo mesmo caminho.
Passo 5
No esboço, marque uma seta começando em
, passando por
até
(para o primeiro ciclo), e depois de volta para
.
Resposta
(a) A equação cartesiana é y=2x^2−1 com −1≤x≤1. (b) É a parábola y=2x^2−1 restrita a x em [−1,1], com traçado iniciando em (1,1), descendo até (0,−1) e subindo até (−1,1) conforme t cresce (setas indicam essa direção).