(a) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme o parâmetro aumenta.
x=cos t, y=cos 2 t

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica definida por x=cos t e y=cos2t. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro em curvas trigonométricas usando identidades trigonométricas e depois esboçar a curva com indicação da direção do traçado conforme t aumenta.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo para o cosseno, que é cos2t=2cos^2t-1. Como x=cos t, podemos escrever
y=cos2t=2(cos t)^2-1=2x^2-1

Passo 3

Portanto a curva é a porção da parábola y=2x^2-1 limitada ao intervalo de x em [-1,1], pois cos t só varia nesse intervalo.

Passo 4

Para esboçar, desenhe a parábola y=2x^2-1 entre x=-1 e x=1. No instante t=0, o ponto está em (1,1). Conforme t vai de 0 a pi, a parábola é percorrida de (1,1) descendo até o vértice (0,-1) e subindo até (-1,1). De t=pi a 2pi, o ponto volta pelo mesmo caminho.

Passo 5

No esboço, marque uma seta começando em (1,1), passando por (0,-1) até (-1,1) (para o primeiro ciclo), e depois de volta para (1,1).

Resposta

(a) A equação cartesiana é y=2x^2−1 com −1≤x≤1. (b) É a parábola y=2x^2−1 restrita a x em [−1,1], com traçado iniciando em (1,1), descendo até (0,−1) e subindo até (−1,1) conforme t cresce (setas indicam essa direção).

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