(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=|t|, y=|1-| t||

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = |t|, y = l|,1 - |t|,r|
e pede (a) a eliminação do parâmetro e (b) o esboço da curva, indicando a direção de traçado à medida que t aumenta.

Passo 2

Observamos que x=|t| implica x>=0. Definindo
u = |t|Longrightarrow x = u, u>=0,
então
y = l|,1 - |t|,r| = |,1 - u,| = |,1 - x,|

Passo 3

Escrevendo em forma piecewise, para x>=0:
se 0 <= x <= 1, então 1 - x >= 0 e
y = 1 - x;
se x >= 1, então 1 - x <= 0 e
y = x - 1

Passo 4

Daí a equação cartesiana é
y = |,1 - x,|, x >= 0

Passo 5

Para esboçar, note que é o “V” de vértice em (1,0) restringido a x>=0. Em x=0 temos y=1, daí a reta decrescente até (1,0), depois a reta crescente para x>=1.

Passo 6

Quanto à direção:
  • Para tto -infty temos x=|t|to+infty, y=|1-|t||approx x-1, ou seja, o ponto vem de l(+infty,+inftyr) descendo pela reta y=x-1 até (1,0).
  • À medida que t vai de -1 a 0, x decresce de 1 a 0 e o ponto sobe pela reta y=1-x de (1,0) a (0,1).
  • Para t de 0 a 1, faz o caminho inverso sobre y=1-x, de volta a (1,0).
  • Para t>1, x cresce e o ponto sobe novamente pela reta y=x-1 de (1,0) para (+infty,+infty).

Resposta

(a) y = |,1 - x,|,;x>=0
(b) É o “V” com vértice em (1,0) e extremidade em (0,1). Quando t aumenta desde -infty até -1, o ponto desce pela reta y=x-1 vindo de (+infty,+infty) até (1,0); de -1 a 0 sobe pela reta y=1-x até (0,1); de 0 a 1 volta descendo em y=1-x até (1,0); e para t>1 sobe pela reta y=x-1 de (1,0) em direção a (+infty,+infty).

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