Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}+2=3 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
dydx + 3xy + 2 = 3x, y(1)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, em que vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dydx + p(x),y = q(x),
identificando
p(x)=3x, q(x)=3x-2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral 3x,dxr) =expl(3ln|x|r) =x^3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^3, obtendo
x^3dydx + 3x^2y = x^3(3x-2) = 3x^4 - 2x^3
O lado esquerdo é a derivada de x^3y:
ddxl(x^3yr)=3x^4 - 2x^3

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3y = integral(3x^4 - 2x^3),dx = 35x^5 - 24x^4 + C = 35x^5 - 12x^4 + C

Passo 6

Isolamos y:
y = 35x^2 - 12x + Cx^-3

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=1:
1 = 35cdot1^2 - 12cdot1 + Ccdot1^-3 = 35 - 12 + C = 610 - 510 + C = 110 + C,
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C = 1 - 110 = 910

Passo 8

Substituindo C em y(x), obtemos a solução do PVI:
y(x) = 35x^2 - 12x + 910x^-3

Resposta

boxedy(x) = 35x^2 - 12x + 910x^-3

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