Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
t^{2} \frac{d x}{d t}+3 t x=t^{4} \ln t+1, x(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI dado por
t^2,dxdt + 3t,x = t^4ln t + 1, x(1)=0
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos: (a) pôr na forma padrão dx/dt + p(t)x = q(t), (b) calcular o fator integrante, (c) integrar e (d) usar a condição inicial.

Passo 2

Dividindo toda a equação por t^2 (válido para tneq0), obtemos a forma padrão
dxdt + 3t,x = t^2ln t + 1t^2

Passo 3

O fator integrante mu(t) é
mu(t) = expl(integral 3t,dtr) = exp(3ln t) = t^3

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^3, reconhecemos o lado esquerdo como derivada de t^3x:
t^3dxdt + 3t^2x = t^3l(t^2ln t + 1t^2r) Longrightarrow ddtl(t^3xr) = t^5ln t + t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integralddt(t^3x),dt = integrall(t^5ln t + tr),dt = integral t^5ln t,dt + integral t,dt
Usando integração por partes em integral t^5ln t,dt ( u=ln t, dv=t^5dt), obtemos
integral t^5ln t,dt = t^66ln t - 16integral t^5dt = t^66ln t - t^636
E integral t,dt = t^2/2. Logo
t^3x = t^66ln t - t^636 + t^22 + C

Passo 6

Isolando x(t), dividimos por t^3:
x(t) = t^36ln t - t^336 + 12t + Ct^3

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x(1)=0:
0 = x(1) = 1^36ln 1 - 1^336 + 12cdot1 + C = 0 - 136 + 12 + C,
portanto
C = -12 + 136 = -1836 + 136 = -1736

Passo 8

Substituindo C em x(t), a solução do PVI é
x(t) = t^36ln t ;-;t^336;+;12t;-;1736,t^3

Resposta

boxed x(t) = t^36ln t ;-;t^336;+;12t;-;1736,t^3

Exercícios relacionados