Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
t^{2} \frac{d x}{d t}+3 t x=t^{4} \ln t+1, x(1)=0
t^{2} \frac{d x}{d t}+3 t x=t^{4} \ln t+1, x(1)=0
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI dado por
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos: (a) pôr na forma padrão
, (b) calcular o fator integrante, (c) integrar e (d) usar a condição inicial.
Passo 2
Dividindo toda a equação por
(válido para
), obtemos a forma padrão
Passo 3
O fator integrante
é
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
, reconhecemos o lado esquerdo como derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Usando integração por partes em
(
), obtemos
E
. Logo
Passo 6
Isolando
, dividimos por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
portanto
Passo 8
Substituindo
em
, a solução do PVI é