Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva parametrizada x=ln (t) e y=raizt, onde t >= 1. Esboce a curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva parametrizada pelas equações x = ln(t) e y = raizt , onde t >= 1 . Isso faz parte do conteúdo de funções paramétricas e transformação para coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as duas equações para tirar o parâmetro t de cena.

Passo 2

Primeiro, olha para a equação de x : x = ln(t) . Queremos isolar t para poder substituir na outra equação. Para isso, usamos a propriedade inversa do logaritmo, que nos diz que se x = ln(t) , então t = e^x .

Passo 3

Agora que temos t em termos de x , vamos substituir esse valor na equação de y . A equação de y é y = raizt . Substituindo t por e^x , fica:
y = raize^x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão raize^x . Lembrando que a raiz quadrada de uma potência é a mesma que elevar a potencia a 1/2 , temos:
y = (e^x)^1/2 = e^x/2
Então, a equação cartesiana que relaciona x e y é y = e^x/2 .

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos entender como se comporta a função y = e^x/2 . Sabemos que a função exponencial cresce rapidamente conforme x aumenta. Além disso, como t >= 1 , x = ln(t) também é maior ou igual a 0. Então, o gráfico começa no ponto (0,1) e sobe exponencialmente para a direita.

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = e^x2 . O esboço da curva é uma função exponencial que passa pelo ponto (0,1) e cresce para a direita.

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