Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva parametrizada
e
, onde
. Esboce a curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva parametrizada pelas equações
e
, onde
. Isso faz parte do conteúdo de funções paramétricas e transformação para coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as duas equações para tirar o parâmetro
de cena.
Passo 2
Primeiro, olha para a equação de
:
. Queremos isolar
para poder substituir na outra equação. Para isso, usamos a propriedade inversa do logaritmo, que nos diz que se
, então
.
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
. A equação de
é
. Substituindo
por
, fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Lembrando que a raiz quadrada de uma potência é a mesma que elevar a potencia a
, temos:
Então, a equação cartesiana que relaciona
e
é
.
Passo 5
Para esboçar a curva, vamos entender como se comporta a função
. Sabemos que a função exponencial cresce rapidamente conforme
aumenta. Além disso, como
,
também é maior ou igual a 0. Então, o gráfico começa no ponto
e sobe exponencialmente para a direita.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. O esboço da curva é uma função exponencial que passa pelo ponto (0,1) e cresce para a direita.