Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
Passo 1
O enunciado dá as aplicações paramétricas
e
e informa o intervalo do parâmetro:
. A tarefa é eliminar o parâmetro
e obter uma equação cartesiana (ou seja, uma relação entre
e
que não contenha
). Informações relevantes que temos:
e
em termos de
e o intervalo de
.
Passo 2
Vou usar a identidade trigonométrica fundamental. A identidade diz que, para qualquer ângulo
,
Explicando isso com calma:
significa
e
significa
. Essa identidade vem do triângulo retângulo ou da definição no círculo unitário — na circunferência de raio
qualquer ponto tem coordenadas
, e pela equação do círculo
obtemos essa soma igual a
. Aqui ela é a ferramenta clássica para eliminar
quando
e
são cosseno e seno.
Passo 3
Agora substituo as expressões dadas no enunciado na identidade: como
e
, temos
Pelo passo anterior,
. Portanto
Passo 4
Interpretação:
é a equação cartesiana de uma circunferência de raio
centrada na origem
. Mas atenção: essa equação sozinha representa a circunferência inteira — precisamos lembrar do intervalo de
dado no enunciado para saber qual porção dessa circunferência realmente corresponde à parametrização.
Passo 5
Usando o intervalo
: para todos esses valores de
temos
. Como
, isso implica
. Logo a parametrização percorre apenas a semicircunferência superior (incluindo os pontos finais). Verificando os extremos: para
obtemos
e para
obtemos
, ambos com
. Portanto a curva é a semicircunferência superior fechada.
Passo 6
Resumo didático do método (para usar na prova): quando tiver
e
em termos de seno e cosseno, a primeira tentativa é somar
e
porque a identidade
frequentemente elimina
. Depois sempre verifique o domínio de
para traduzir em restrições em
(aqui deu
). Isso evita perder a informação sobre apenas um arco da curva.