Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
x=\cos t, y=\sin t, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá as aplicações paramétricas \;x=\cos t e \;y=\sin t e informa o intervalo do parâmetro: \;0 \le t \le \pi. A tarefa é eliminar o parâmetro t e obter uma equação cartesiana (ou seja, uma relação entre x e y que não contenha t). Informações relevantes que temos: \;x e \;y em termos de \;t e o intervalo de \;t.

Passo 2

Vou usar a identidade trigonométrica fundamental. A identidade diz que, para qualquer ângulo t,
\cos^2 t + \sin^2 t = 1.
Explicando isso com calma: \cos^2 t significa (\cos t)^2 e \sin^2 t significa (\sin^2 t)^2. Essa identidade vem do triângulo retângulo ou da definição no círculo unitário — na circunferência de raio 1 qualquer ponto tem coordenadas (\cos t,\sin t), e pela equação do círculo x^2+y^2=1 obtemos essa soma igual a 1. Aqui ela é a ferramenta clássica para eliminar t quando x e y são cosseno e seno.

Passo 3

Agora substituo as expressões dadas no enunciado na identidade: como \;x=\cos t e \;y=\sin t, temos
x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.
Pelo passo anterior, \cos^2 t + \sin^2 t = 1. Portanto
x^2 + y^2 = 1.

Passo 4

Interpretação: \;x^2 + y^2 = 1 é a equação cartesiana de uma circunferência de raio 1 centrada na origem (0,0). Mas atenção: essa equação sozinha representa a circunferência inteira — precisamos lembrar do intervalo de t dado no enunciado para saber qual porção dessa circunferência realmente corresponde à parametrização.

Passo 5

Usando o intervalo \;0 \le t \le \pi: para todos esses valores de t temos \sin t \ge 0. Como \;y=\sin t, isso implica \;y \ge 0. Logo a parametrização percorre apenas a semicircunferência superior (incluindo os pontos finais). Verificando os extremos: para \;t=0 obtemos (x,y)=(1,0) e para \;t=\pi obtemos (x,y)=(-1,0), ambos com y=0. Portanto a curva é a semicircunferência superior fechada.

Passo 6

Resumo didático do método (para usar na prova): quando tiver x e y em termos de seno e cosseno, a primeira tentativa é somar x^2 e y^2 porque a identidade \cos^2 t+\sin^2 t=1 frequentemente elimina t. Depois sempre verifique o domínio de t para traduzir em restrições em x,y (aqui deu y\ge 0). Isso evita perder a informação sobre apenas um arco da curva.

Resposta

x^2+y^2=1
y\ge 0

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