Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede que eu esboce a curva no plano e indique a direção de crescimento do parâmetro
. Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
- As fórmulas paramétricas para
e em função de estão dadas por e . - O parâmetro
varia no intervalo . - Preciso indicar a direção em que a curva é percorrida quando
aumenta.
Passo 2
Elimino o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva. Multiplico
por
:
Usando a propriedade dos expoentes
, obtenho a equação cartesiana
Explicação didática: aqui eu usei que
. Então, multiplicando
e
as potências se somam e cancelam porque
.
Passo 3
Interpreto a equação cartesiana
. Essa é a clássica hipérbole equilátera (ou hipérbole retangular) no primeiro e terceiro quadrantes. Como
e
para todo
, a parte que nos interessa está no primeiro quadrante (onde
e
). Então, a curva paramétrica com esse intervalo de
é o segmento da hipérbole
que fica no primeiro quadrante entre dois pontos determinados por
e
.
Passo 4
Calculo os pontos correspondentes a valores-chave de
para orientar o esboço:
Esses três pontos estão todos sobre a curva
e são fáceis de marcar:
fica à esquerda e alto,
no meio e
à direita e baixo.
Passo 5
Estudo o sentido de percurso (direção) quando
aumenta. Derivo
e
em relação a
:
Interpretação didática:
significa que
aumenta com
;
significa que
diminui com
. Portanto, à medida que
cresce, o ponto na curva se desloca para a direita e para baixo. Concluo que o movimento vai de
(quando
) passando por
(quando
) até
(quando
).
Passo 6
Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
, e . Não precisa calcular decimais; basta saber que , então e . - Ligue esses pontos com a curva suave que segue a hipérbole
no primeiro quadrante (curva decrescente que se aproxima dos eixos e se estendêssemos para , mas aqui só usamos o arco entre os pontos marcados). - Acrescente uma seta sobre a curva apontando da esquerda-para-cima para a direita-para-baixo, isto é, da posição
para , indicando que cresce nesse sentido.
Dica de desenho rápido: a curva passa pore decai suavemente à medida que aumenta.
Resposta
Equação cartesiana:
.\nDireção: a curva é percorrida quando
aumenta de
(para
) para
(para
), ou seja, da esquerda‑alto para a direita‑baixo, passando por
.