Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
x=e^{t}, y=e^{-t},-1 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=e^{t},\qquad y=e^{-t},\qquad -1\le t\le 1,
e pede que eu esboce a curva no plano e indique a direção de crescimento do parâmetro t. Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
  • As fórmulas paramétricas para x e y em função de t estão dadas por \,x=e^{t} e \,y=e^{-t}.
  • O parâmetro t varia no intervalo [-1,1].
  • Preciso indicar a direção em que a curva é percorrida quando t aumenta.

Passo 2

Elimino o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva. Multiplico x por y:
xy = e^{t}\cdot e^{-t}.
Usando a propriedade dos expoentes e^{t}e^{-t}=e^{t-t}=e^{0}=1, obtenho a equação cartesiana
xy=1.
Explicação didática: aqui eu usei que e^{a}e^{b}=e^{a+b}. Então, multiplicando x e y as potências se somam e cancelam porque t+(-t)=0.

Passo 3

Interpreto a equação cartesiana \,xy=1. Essa é a clássica hipérbole equilátera (ou hipérbole retangular) no primeiro e terceiro quadrantes. Como x=e^{t}>0 e y=e^{-t}>0 para todo t, a parte que nos interessa está no primeiro quadrante (onde x>0 e y>0). Então, a curva paramétrica com esse intervalo de t é o segmento da hipérbole \,xy=1 que fica no primeiro quadrante entre dois pontos determinados por t=-1 e t=1.

Passo 4

Calculo os pontos correspondentes a valores-chave de t para orientar o esboço:
\text{para } t=-1:\quad (x,y)=\bigl(e^{-1},e^{1}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr);
\text{para } t=0:\quad (x,y)=\bigl(e^{0},e^{0}\bigr)=(1,1);
\text{para } t=1:\quad (x,y)=\bigl(e^{1},e^{-1}\bigr)=(e,\tfrac{1}{e}).
Esses três pontos estão todos sobre a curva xy=1 e são fáceis de marcar: \bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr) fica à esquerda e alto, (1,1) no meio e (e,\tfrac{1}{e}) à direita e baixo.

Passo 5

Estudo o sentido de percurso (direção) quando t aumenta. Derivo x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt}=e^{t}>0,\qquad \frac{dy}{dt}=-e^{-t}<0.
Interpretação didática: \frac{dx}{dt}>0 significa que x aumenta com t; \frac{dy}{dt}<0 significa que y diminui com t. Portanto, à medida que t cresce, o ponto na curva se desloca para a direita e para baixo. Concluo que o movimento vai de \bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr) (quando t=-1) passando por (1,1) (quando t=0) até (e,\tfrac{1}{e}) (quando t=1).

Passo 6

Como esboçar na prova (passo a passo prático):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque os pontos \bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr), (1,1) e (e,\tfrac{1}{e}). Não precisa calcular decimais; basta saber que e\approx2{,}718, então \tfrac{1}{e}\approx0{,}368 e e\approx2{,}718.
  • Ligue esses pontos com a curva suave que segue a hipérbole xy=1 no primeiro quadrante (curva decrescente que se aproxima dos eixos x=0 e y=0 se estendêssemos t para \pm\infty, mas aqui só usamos o arco entre os pontos marcados).
  • Acrescente uma seta sobre a curva apontando da esquerda-para-cima para a direita-para-baixo, isto é, da posição \bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr) para (e,\tfrac{1}{e}), indicando que t cresce nesse sentido.
    Dica de desenho rápido: a curva passa por (1,1) e decai suavemente à medida que x aumenta.

Resposta

Equação cartesiana: xy=1.\nDireção: a curva é percorrida quando t aumenta de \bigl(\tfrac{1}{e},e\bigr) (para t=-1) para (e,\tfrac{1}{e}) (para t=1), ou seja, da esquerda‑alto para a direita‑baixo, passando por (1,1).

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