Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada pelas equações paramétricas
,
com
, e indicar a direção de crescimento do parâmetro
.
Informações fornecidas: ,
, e o intervalo do parâmetro
é
. Nada mais é pedido além do esboço e da indicação da direção conforme
aumenta.
Informações fornecidas:
Passo 2
Vamos calcular alguns pontos-chave substituindo valores fáceis de
para ter referências no esboço:
Esses pontos servem como malha: para
indo de
a
vemos pontos na metade esquerda; para
de
a
vemos a metade direita.
Passo 3
Eliminando o parâmetro para achar a equação cartesiana: calculemos
e
:
Portanto
Também observamos que
para todo
, então a curva é descrita pelas soluções de
com
.
Passo 4
Interpretação da equação cartesiana: como aparece
, a curva é simétrica em relação ao eixo
(reflexão
). A condição
restringe ao semiplano superior (incluindo o eixo
). Outra forma de escrever é
o que ajuda a imaginar a forma: para
grande em módulo,
cresce como
(cresce mais devagar que uma parábola).
Passo 5
Para entender a direção e a inclinação da curva usamos as derivadas temporais (descrição paramétrica de tangente). Calcule:
Quando
, a inclinação cartesiana é
Isto significa:
- Para
a inclinação é positiva ( ); para é negativa ( ). - Valores concretos: em
, . Em , . Em , . Em , . - Quando
, ; quando , . Logo, no ponto a tangente é vertical (há uma cúspide vertical).
Passo 6
Analisando monotonicidades (como
e
variam com
):
- Como
, é não decrescente: para de até , aumenta de até ; para de até , aumenta de até . - Como
para , decresce quando vai de a . Para , então cresce quando vai de a . Em temos um mínimo local de ( ).
Passo 7
Como resumir o comportamento para desenhar e indicar a direção:
- Comece no ponto
em . À medida que aumenta de para , a curva corre da esquerda para o eixo , passando por quando , e chegando a quando . Nesse trecho a inclinação é negativa e a curva dirige-se para baixo e para a direita até o vértice cuspídeo em . Coloque uma seta apontando para a direita em direção ao origem para mostrar a direção do parâmetro nesse ramo esquerdo. - A partir de
a curva sai do origem para a direita e para cima: quando cresce de para passa por em e chega a em . Nesse ramo direito a inclinação é positiva e pequena para grandes. Coloque setas apontando para a direita e para cima ao longo desse ramo para indicar o sentido de crescimento de . - No ponto
a tangente é vertical (cúspide): os ramos esquerdo e direito se encontram em com tangentes verticais de sinais opostos (sobe à direita, desce à esquerda). - A curva é simétrica em relação ao eixo
, e sua forma pode ser imaginada como a “curva em V arredondada” com um fundo em (mais precisamente uma cúspide), correspondendo à equação .
Passo 8
Instruções práticas para o esboço sem calculadora:
- Trace os pontos
. - Desenhe um ramo suave que passa por
curvando para baixo e terminando verticalmente em ; coloque setas ao longo deste ramo apontando para a direita (porque aumenta de para ). - Desenhe o ramo simétrico que sai verticalmente de
e passa por curvando para cima; coloque setas apontando para a direita (porque aumenta de para ). - Marque a verticalidade da tangente em
e escreva a equação cartesiana próxima ao desenho para lembrar a forma global.
Resposta
A curva é dada por
com
. Passa por
. Para
variando de
a
o ponto move-se de
até
(setas apontando para a direita em direção ao origem); para
de
a
o ponto move-se de
até
(setas apontando para a direita e para cima). No ponto
há uma cúspide com tangente vertical.