Esboce as curvas definidas pelas equações paramétricas dadas, indicando a direção de crescimento do parâmetro:
x=t^{3}, y=t^{2},-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pelas equações paramétricas x=t^{3}, y=t^{2} com -2 \le t \le 2, e indicar a direção de crescimento do parâmetro t.
Informações fornecidas: x=t^{3}, y=t^{2}, e o intervalo do parâmetro t é [-2,2]. Nada mais é pedido além do esboço e da indicação da direção conforme t aumenta.

Passo 2

Vamos calcular alguns pontos-chave substituindo valores fáceis de t para ter referências no esboço:
\begin{aligned} t=-2 &\Rightarrow x=(-2)^{3}=-8,\quad y=(-2)^{2}=4\quad\text{ponto }(-8,4),\\\ t=-1 &\Rightarrow x=-1,\quad y=1\quad\text{ponto }(-1,1),\\\ t=0 &\Rightarrow x=0,\quad y=0\quad\text{ponto }(0,0),\\\ t=1 &\Rightarrow x=1,\quad y=1\quad\text{ponto }(1,1),\\\ t=2 &\Rightarrow x=8,\quad y=4\quad\text{ponto }(8,4). \end{aligned}
Esses pontos servem como malha: para t indo de -2 a 0 vemos pontos na metade esquerda; para t de 0 a 2 vemos a metade direita.

Passo 3

Eliminando o parâmetro para achar a equação cartesiana: calculemos y^{3} e x^{2}:
y^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}, \qquad x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
Portanto
x^{2}=y^{3}.
Também observamos que y=t^{2}\ge 0 para todo t, então a curva é descrita pelas soluções de \,x^{2}=y^{3}\, com y\ge 0.

Passo 4

Interpretação da equação cartesiana: como aparece x^{2}, a curva é simétrica em relação ao eixo y (reflexão x\mapsto -x). A condição y\ge 0 restringe ao semiplano superior (incluindo o eixo y). Outra forma de escrever é
y=|x|^{2/3},
o que ajuda a imaginar a forma: para x grande em módulo, y cresce como |x|^{2/3} (cresce mais devagar que uma parábola).

Passo 5

Para entender a direção e a inclinação da curva usamos as derivadas temporais (descrição paramétrica de tangente). Calcule:
\frac{dx}{dt}=3t^{2},\qquad \frac{dy}{dt}=2t.
Quando \frac{dx}{dt}\neq 0, a inclinação cartesiana é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{2t}{3t^{2}}=\frac{2}{3t}\quad (t\neq 0).
Isto significa:
  • Para t>0 a inclinação é positiva ( \frac{dy}{dx}>0); para t<0 é negativa ( \frac{dy}{dx}<0).
  • Valores concretos: em t=2, \frac{dy}{dx}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}. Em t=1, \frac{dy}{dx}=\dfrac{2}{3}. Em t=-1, \frac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{3}. Em t=-2, \frac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{3}.
  • Quando t\to 0^{+}, \frac{dy}{dx}\to +\infty; quando t\to 0^{-}, \frac{dy}{dx}\to -\infty. Logo, no ponto (0,0) a tangente é vertical (há uma cúspide vertical).

Passo 6

Analisando monotonicidades (como x e y variam com t):
\frac{dx}{dt}=3t^{2}\ge 0\\ \text{(igual a zero só em \(t=0\))}, \qquad \frac{dy}{dt}=2t.ó
  • Como \frac{dx}{dt}\ge0, x é não decrescente: para t de -2 até 0, x aumenta de -8 até 0; para t de 0 até 2, x aumenta de 0 até 8.
  • Como \frac{dy}{dt}<0 para t<0, y decresce quando t vai de -2 a 0. Para t>0, \frac{dy}{dt}>0 então y cresce quando t vai de 0 a 2. Em t=0 temos um mínimo local de y ( y=0 ).

Passo 7

Como resumir o comportamento para desenhar e indicar a direção:
  • Comece no ponto t=-2 em (-8,4). À medida que t aumenta de -2 para 0, a curva corre da esquerda para o eixo y, passando por (-1,1) quando t=-1, e chegando a (0,0) quando t=0. Nesse trecho a inclinação é negativa e a curva dirige-se para baixo e para a direita até o vértice cuspídeo em (0,0). Coloque uma seta apontando para a direita em direção ao origem para mostrar a direção do parâmetro nesse ramo esquerdo.
  • A partir de t=0 a curva sai do origem para a direita e para cima: quando t cresce de 0 para 2 passa por (1,1) em t=1 e chega a (8,4) em t=2. Nesse ramo direito a inclinação é positiva e pequena para t grandes. Coloque setas apontando para a direita e para cima ao longo desse ramo para indicar o sentido de crescimento de t.
  • No ponto (0,0) a tangente é vertical (cúspide): os ramos esquerdo e direito se encontram em (0,0) com tangentes verticais de sinais opostos (sobe à direita, desce à esquerda).
  • A curva é simétrica em relação ao eixo y, e sua forma pode ser imaginada como a “curva em V arredondada” com um fundo em (0,0) (mais precisamente uma cúspide), correspondendo à equação \,x^{2}=y^{3}\,.

Passo 8

Instruções práticas para o esboço sem calculadora:
  • Trace os pontos (-8,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(8,4).
  • Desenhe um ramo suave que passa por (-8,4)\to(-1,1)\to(0,0) curvando para baixo e terminando verticalmente em (0,0); coloque setas ao longo deste ramo apontando para a direita (porque t aumenta de -2 para 0).
  • Desenhe o ramo simétrico que sai verticalmente de (0,0) e passa por (1,1)\to(8,4) curvando para cima; coloque setas apontando para a direita (porque t aumenta de 0 para 2).
  • Marque a verticalidade da tangente em (0,0) e escreva a equação cartesiana \,x^{2}=y^{3}\, próxima ao desenho para lembrar a forma global.

Resposta

A curva é dada por x^{2}=y^{3} com y\ge 0. Passa por (-8,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(8,4). Para t variando de -2 a 0 o ponto move-se de (-8,4) até (0,0) (setas apontando para a direita em direção ao origem); para t de 0 a 2 o ponto move-se de (0,0) até (8,4) (setas apontando para a direita e para cima). No ponto (0,0) há uma cúspide com tangente vertical.

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