Elimine, quando possível, os termos de primeiro grau fazendo uma translação apropriada do sistema de coordenadas. Isto é, encontre um novo sistema de coordenadas fazendo x^prime=(x-x0) e y^prime=(y-y0) (onde (x0, y0) é a coordenada do centro da cônica), de modo a obter a equação da cônica na sua forma canônica:
4 x^2+3 y^2+24 x-12 y+36=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4x^2+3y^2+24x-12y+36=0
e pede para eliminar os termos lineares em x e y por meio de uma translação de eixos, isto é, completando quadrados e encontrando o centro da cônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e completamos o quadrado:
4x^2+24x = 4l(x^2+6xr) =4l[(x+3)^2-9r] =4(x+3)^2-36

Passo 3

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
3y^2-12y = 3l(y^2-4yr) =3l[(y-2)^2-4r] =3(y-2)^2-12

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original:
l[4(x+3)^2-36r]+l[3(y-2)^2-12r]+36=0 Longrightarrow 4(x+3)^2+3(y-2)^2-12=0
logo
4(x+3)^2+3(y-2)^2=12

Passo 5

Da forma completada vemos que o centro da cônica é
(x0,y0) = (-3,2)
Definimos então as novas coordenadas
x' = x - x0 = x+3, y' = y - y0 = y-2

Passo 6

Em (x',y') a equação fica
4x'^2+3y'^2=12
e, dividindo tudo por 12, obtemos a forma canônica
x'^23 + y'^24 = 1

Resposta

x'^23 + y'^24 = 1,
com centro em (x0,y0) = (-3,2).

Exercícios relacionados