QUESTĀO 1 ( 5 pontos) - Dados os pontos A=(2,9,2), B=(-4,-4,9), C=(-3,9,-7) e D= (-5, 4, -4). Faça o que se pede.
a) Determine as equaçōes vetorial e paramétricas da reta r que passa pelos pontos A e B.
b) Determine as equaçōes simétricas e reduzidas em x da reta s que passa pelos pontos C e D.
c) Determine a posição relativa das retas r e se, se couber, determine a distância entre essas retas.
d) Determine as equaçoes vetorial, paramétricas, geral e segmentária do plano pi que passa pelos pontos A, B e C.
e) Determine a distância do ponto D ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos quatro pontos no espaço: A = (2, 9, 2) , B = (-4, -4, 9) , C = (-3, 9, -7) e D = (-5, 4, -4) . Precisamos resolver várias coisas sobre retas que passam por esses pontos e sobre um plano que passa por três deles. Vamos usar conceitos de geometria analítica como equações vetoriais, paramétricas, simétricas de retas, posição relativa entre retas, equações de planos e distância de pontos a planos.

Passo 2

a) Determinar as equações vetorial e paramétricas da reta [r) que passa pelos pontos e .
Primeiro, para achar as equações da reta, precisamos de um ponto pela qual ela passa e um vetor diretor. Vamos usar os pontos e para isso.
  1. Ponto da reta: Podemos escolher o ponto como ponto de referência.
  2. Vetor diretor ( ): Calculamos subtraindo as coordenadas de das de :
Este vetor indica a direção da reta.
  1. Equação Vetorial da Reta :
  1. Equações Paramétricas da Reta :
Aqui, (t] é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

b) Determinar as equações simétricas e reduzidas em [x) da reta que passa pelos pontos e .
Vamos novamente precisar de um ponto e de um vetor diretor para a reta .
  1. Ponto da reta: Vamos usar o ponto .
  2. Vetor diretor ( ):
  1. Equações Paramétricas da Reta :
  1. Equações Simétricas da Reta (s]:
    Para eliminar o parâmetro , resolvemos cada equação paramétrica para :
Então, as equações simétricas são:
  1. Equações Reduzidas em da Reta :
    Queremos expressar e em função de .
    Da equação paramétrica de :
Substituímos nas equações de e :
Então, as equações reduzidas em são:

Passo 4

c) Determinar a posição relativa das retas e e, se possível, determinar a distância entre elas.
Para verificar a posição relativa das retas e , precisamos analisar se elas são paralelas, coincidentes ou se elas se interceptam (são concorrentes) ou são paralelas mas não coincidentes (são paralelas).
  1. Vetores Diretores:
    • Reta :
    • Reta :
    Primeiro, verificamos se os vetores diretores são múltiplos entre si, ou seja, se existe um número tal que .
    Calculando :
Como não é constante, as retas não são paralelas.
  1. Verificando se são Intersectantes:
    Vamos tentar encontrar valores de e que satisfaçam as equações das retas e .
    De :
De :
Igualando as coordenadas:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
çõ
Encontrando :
Verificando na equação (3):
Como , não há solução comum. Portanto, as retas são não paralelas e não interceptantes, ou seja, são retas paralelas ideais.
  1. Calculando a Distância Entre as Retas:
    Como as retas não são paralelas nem intersectantes, são retas oblíquas. Para calcular a distância entre elas, usamos a fórmula:
Mas uma maneira mais prática é usar a seguinte abordagem:
  • Encontrar um vetor que une as retas e .
  • Calcular o produto vetorial dos vetores diretores.
  • Usar a fórmula da distância.
Passo a Passo:
  1. Vetores Diretores:
  1. Produto vetorial :
  1. Vetor entre as retas: Vamos usar os pontos e :
  1. Produto escalar :
  1. Distância:
  Portanto, a distância entre as retas \(r\) e \(s\) é \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) unidades.

Passo 5

d) Determinar as equações vetorial, paramétricas, geral e segmentária do plano [\pi) que passa pelos pontos , e .
Para encontrar as equações do plano, precisamos de um ponto de referência e de dois vetores diretores no plano.
  1. Ponto do plano: Podemos usar o ponto .
  2. Vetores Diretores:
  1. Equação Vetorial do Plano :
  1. Equações Paramétricas do Plano :
  1. Equação Geral do Plano (\pi]:
    Para obter a equação geral do plano, precisamos calcular o vetor normal ( ) ao plano, que é o produto vetorial dos vetores diretores e :
A equação geral do plano é dada por:
Simplificando:
Portanto, a equação geral do plano é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por um divisor comum, se houver. Contudo, neste caso, os coeficientes não possuem um divisor comum além de 1, então essa é a forma simplificada.
  1. Equação Segmentária do Plano :
    A equação segmentária do plano relaciona as variáveis , e de forma que:
Onde é um ponto no plano e é o vetor normal. Mas, na realidade, a equação segmentária é mais comumente usada para retas. Para planos, a forma segmentária não é tão usual, mas podemos expressar a relação entre , e a partir da equação geral.
A partir da equação geral:
Podemos isolar uma variável, por exemplo, :
Portanto, a equação segmentária (expressa como em função de e ) é:

Passo 6

e) Determinar a distância do ponto D ao plano pi .
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto P(x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 :
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Da equação geral do plano pi :
117x - 89y - 65z + 697 = 0
Aqui, A = 117 , B = -89 , C = -65 , e D = 697 .
O ponto D = (-5, 4, -4) .
  1. Calculando o numerador:
|117(-5) - 89(4) - 65(-4) + 697| = |-585 - 356 + 260 + 697| = |-585 - 356 + 260 + 697| = |(-941 + 957)| = |16| = 16
  1. Calculando o denominador:
raiz117^2 + (-89)^2 + (-65)^2 = raiz13689 + 7921 + 4225 = raiz25835 approx 160.72
  1. Distância:
d = 16160.72 approx 0.0995 , unidades
Aproximadamente, a distância do ponto D ao plano pi é 0.0995 unidades.

Resposta

Resumindo:
a) Reta [r):
é
b) Reta (s]:
é
c) Posição Relativa e Distância:
As retas [r) e são não paralelas e não interceptantes (oblíquas). A distância entre elas é unidades.
d) Plano :
éá
e) Distância do ponto :
A distância é aproximadamente unidades.

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