Exercício 9. Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A, B). Prove que r neq 1 e que A P=r1+r A B.

Passo 1

Vamos recapitular: temos dois pontos A e B distintos (segmento orientado não-nulo) e um ponto P que o “divide” em razão r. O conteúdo é divisão de segmento orientado e vetores. Vamos usar a definição de razão orientada e propriedades de soma de vetores.

Passo 2

Pela definição de divisão em razão r temos que o vetor AP é r vezes o vetor PB, ou seja,

Passo 3

AP=r,PB

Passo 4

Também sabemos que a soma dos vetores AP e PB é o vetor AB:

Passo 5

AB=AP+PB

Passo 6

Substituindo PB=tfrac1r,AP na soma:

Passo 7

AB=AP+1r,AP=l(1+1rr)AP=r+1r,AP

Passo 8

Isolando AP em função de AB:

Passo 9

AP=rr+1,AB

Passo 10

Para que essa expressão faça sentido, precisamos ter r+1neq0, ou seja, rneq-1.

Resposta

AP=r1+r,AB, com a condição rneq-1.

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