Exercício 9. Seja a razão em que o ponto divide o segmento orientado não-nulo . Prove que e que .
Passo 1
Vamos recapitular: temos dois pontos A e B distintos (segmento orientado não-nulo) e um ponto P que o “divide” em razão r. O conteúdo é divisão de segmento orientado e vetores. Vamos usar a definição de razão orientada e propriedades de soma de vetores.
Passo 2
Pela definição de divisão em razão r temos que o vetor AP é r vezes o vetor PB, ou seja,
Passo 3
AP=r,PB
Passo 4
Também sabemos que a soma dos vetores AP e PB é o vetor AB:
Passo 5
AB=AP+PB
Passo 6
Substituindo PB=tfrac1r,AP na soma:
Passo 7
AB=AP+1r,AP=l(1+1rr)AP=r+1r,AP
Passo 8
Isolando AP em função de AB:
Passo 9
AP=rr+1,AB
Passo 10
Para que essa expressão faça sentido, precisamos ter r+1neq0, ou seja, rneq-1.