Escreva a equação das retas abaixo (formas paramétrica, vetorial e simétrica) a partir de dois pontos:
P0=(1,2,-4) e P1=(0,-3,1)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as equações de uma reta 3D (paramétrica, vetorial e simétrica) que passa pelos pontos
P0=(1,2,-4)e P1=(0,-3,1)
Isso é geometria analítica no espaço. Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. do vetor diretor da reta, que sai de P0 em direção a P1;
  2. usar a fórmula geral de reta no espaço: ponto inicial + parâmetro × vetor diretor;
  3. daí extrair as três formas pedidas.

Passo 2

Primeiro acha o vetor diretor vec v. A ideia é subtrair as coordenadas de P1 - P0:
vec v = P1 - P0 = (0-1,,-3-2,;1-(-4)) = (-1,,-5,;5)
Esse vec v é o “guia” que diz pra onde a reta aponta.

Passo 3

Agora a forma paramétrica: a cada valor do parâmetro [t) a gente gera um ponto da reta a partir de :
Aqui usamos e .

Passo 4

Forma vetorial: agrupando tudo em vetor posição vec r, fica
vec r(t) = (1,,2,,-4) ;+; t,(-1,,-5,,5)
É só a mesma ideia do paramétrico, mas escrita num único vetor.

Passo 5

Forma simétrica: a gente resolve cada equação paramétrica isolando t, assim:
t = x-1-1, t = y-2-5, t = z+45
E iguala tudo numa só fração:
x-1-1 ;=;y-2-5;=;z+45

Resposta

As equações da reta que passa por P0=(1,2,-4) e P1=(0,-3,1) são:
  1. Forma paramétrica
x = 1 - t, y = 2 - 5t, z = -4 + 5t
  1. Forma vetorial
vec r(t) = (1,2,-4) + t,(-1,-5,5)
  1. Forma simétrica
x-1-1 ;=;y-2-5;=;z+45

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