A elipse de equação 16 x^{2}+25 y^{2}+160 x+200 y+400=0 é tangente aos eixos coordenados x e y.
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  • Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse de equação
16x^{2}+25y^{2}+160x+200y+400=0
e pergunta se ela é tangente aos eixos coordenados x (reta y=0) e y (reta x=0). Para resolver, vamos completar quadrados para trazer à forma padrão
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
identificar centro (h,k) e semi-eixos a e b, e então verificar as distâncias do centro às retas x=0 e y=0.

Passo 2

Agrupando termos em x e y e completando quadrados:
16\bigl(x^2+10x\bigr)+25\bigl(y^2+8y\bigr)+400=0.
Note que
x^2+10x=(x+5)^2-25,\quad y^2+8y=(y+4)^2-16.
Substituindo:
16\bigl((x+5)^2-25\bigr)+25\bigl((y+4)^2-16\bigr)+400=0.
Expandindo e simplificando:
16(x+5)^2-400+25(y+4)^2-400+400=0
16(x+5)^2+25(y+4)^2-400=0
16(x+5)^2+25(y+4)^2=400.

Passo 3

Dividindo por 400, obtemos a forma padrão:
\frac{(x+5)^2}{25}+\frac{(y+4)^2}{16}=1.
Dessa forma, o centro é (h,k)=(-5,-4), o semi-eixo maior (direção x) é a=5 e o semi-eixo menor (direção y) é b=4.

Passo 4

A reta x=0 (eixo y) está à distância \lvert h\rvert=\lvert -5\rvert=5 do centro, que é exatamente a. Logo a elipse é tangente a x=0.
A reta y=0 (eixo x) está à distância \lvert k\rvert=\lvert -4\rvert=4 do centro, que é exatamente b. Logo a elipse é tangente a y=0.

Resposta

Verdadeiro

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