Questão 7 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y-z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}
e pede para verificar se é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, usamos o teste de subespaço, que exige:
  1. W\neq\emptyset (contém o vetor zero).
  2. Fechamento em relação à soma.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que W contém o vetor zero. Substituindo (0,0,0) na equação:
0 + 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W e W\neq\emptyset.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W, então
x_1 + y_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 - z_2 = 0.
Somando:
(x_1+x_2) + (y_1+y_2) - (z_1+z_2) = 0,
portanto \mathbf{u} + \mathbf{v}\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Se \mathbf{u}=(x,y,z)\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então x+y-z=0. Multiplicando por \lambda:
\lambda x + \lambda y - \lambda z = \lambda\cdot 0 = 0,
logo \lambda\mathbf{u}\in W.

Passo 5

Como W não é vazio e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3.

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