Questão 6 Seja V o conjunto de todas matrizes da forma \left(\begin{array}{ll}a & 1 \\\\ 1 & b\end{array}\right) com a, b \in \mathbb{R}. Defimanos:
\left(\begin{array}{ll} a & 1 \\\\ 1 & b \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} c & 1 \\\\ 1 & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rc} a+c & 1 \\\\ 1 & b+d \end{array}\right) \text { e } \alpha\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\\\ 1 & b \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rc} \alpha a & 1 \\\\ 1 & \alpha b \end{array}\right) \quad \text { com } \alpha \in \mathbb{R} .
Verifique se V é ou não um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
V = \left\{\begin{pmatrix}a & 1\\\ 1 & b\end{pmatrix} \mid a,b\in\mathbb R\right\}
com a soma
\begin{pmatrix}a & 1\\\ 1 & b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}c & 1\\\ 1 & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c & 1\\\ 1 & b+d\end{pmatrix}
e multiplicação escalar
\alpha\begin{pmatrix}a & 1\\\ 1 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha a & 1\\\ 1 & \alpha b\end{pmatrix}.
Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb R.

Passo 2

(Fechamento)
  1. Soma: dadas \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}c&1\\\ 1&d\end{pmatrix}\in V,
    a soma tem a forma \begin{pmatrix}a+c&1\\\ 1&b+d\end{pmatrix}
    com a+c,b+d\in\mathbb R, logo está em V.
  2. Escalar: para \alpha\in\mathbb R e \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}\in V, \alpha\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha a&1\\\ 1&\alpha b\end{pmatrix}
    também está em V.

Passo 3

(Axiomas de adição)
  1. Comutatividade: \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}c&1\\\ 1&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c&1\\\ 1&b+d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c+a&1\\\ 1&d+b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c&1\\\ 1&d\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}.
  2. Associatividade: para três matrizes qualquer
    o elemento diagonal soma associativamente em \mathbb R,
    logo (M_1+M_2)+M_3=M_1+(M_2+M_3).

Passo 4

(Elemento neutro e inversos)
  • Neutro aditivo: \mathbf 0=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},
    pois \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+0&1\\\ 1&b+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}.
  • Inverso aditivo:
    para M=\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}, -M=\begin{pmatrix}-a&1\\\ 1&-b\end{pmatrix}
    satisfaz M+(-M)=\mathbf 0.

Passo 5

(Axiomas de multiplicação escalar)
  1. 1\cdot M = M pois escala apenas as diagonais.
  2. (\alpha\beta)M = \alpha(\beta M) segue de \alpha(\beta a)=(\alpha\beta)a.
  3. (\alpha+\beta)M = \alpha M + \beta M pois
    as diagonais satisfazem (\alpha+\beta)a = \alpha a + \beta a.
  4. \alpha(M_1+M_2)=\alpha M_1+\alpha M_2 análogo.
  5. 0\cdot M = \mathbf 0 pois 0\cdot a=0 dá a matriz neutra.

Passo 6

Como todas as propriedades (fechamento, adição comutativa e associativa, neutro e inversos, compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar, existência de 1 e de 0 escalar) estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb R.

Resposta

Sim, V é um espaço vetorial sobre \mathbb R.

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