Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb R.
Passo 2
(Fechamento)
Soma: dadas \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}c&1\\\ 1&d\end{pmatrix}\in V,
a soma tem a forma \begin{pmatrix}a+c&1\\\ 1&b+d\end{pmatrix}
com a+c,b+d\in\mathbb R, logo está em V.
Escalar: para \alpha\in\mathbb R e \begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}\in V, \alpha\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\alpha a&1\\\ 1&\alpha b\end{pmatrix}
também está em V.
Inverso aditivo:
para M=\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&b\end{pmatrix}, -M=\begin{pmatrix}-a&1\\\ 1&-b\end{pmatrix}
satisfaz M+(-M)=\mathbf 0.
Passo 5
(Axiomas de multiplicação escalar)
1\cdot M = M pois escala apenas as diagonais.
(\alpha\beta)M = \alpha(\beta M) segue de \alpha(\beta a)=(\alpha\beta)a.
(\alpha+\beta)M = \alpha M + \beta M pois
as diagonais satisfazem (\alpha+\beta)a = \alpha a + \beta a.
\alpha(M_1+M_2)=\alpha M_1+\alpha M_2 análogo.
0\cdot M = \mathbf 0 pois 0\cdot a=0 dá a matriz neutra.
Passo 6
Como todas as propriedades (fechamento, adição comutativa e associativa, neutro e inversos, compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar, existência de 1 e de 0 escalar) estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb R.