Questão 7 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right. e \left.x-y-z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\\ \text{e}\\ x-y-z=0\}
é subespaço de \mathbb{R}^3. Vamos usar que um subespaço é exatamente o núcleo de uma transformação linear ou, equivalentemente, verificar que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos a aplicação linear
f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y,z) = (\,x+y+z,\;x-y-z\,).
Então
W = \ker(f).
Como o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço do espaço de partida, segue que W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para compreender melhor W\), resolvemos o sistema \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y-z=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(x+y+z)-(x-y-z)=0-0 \quad\Longrightarrow\quad 2y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=-y.
Substituindo z=-y\] em \(x+y+z=0
x + y + (-y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.

Passo 4

Portanto todo vetor de W é da forma
(x,y,z) = (0,y,-y) = y\,(0,1,-1),
com y\in\mathbb{R}. Isso mostra que W é uma reta que passa pela origem, ou seja, um subespaço de dimensão 1 com base formada pelo único vetor (0,1,-1).

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3.
Uma base de W é \{(0,1,-1)\} e \dim(W)=1.

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