Questão 7 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x y=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\,y = 0\}
e pede para verificar se W é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob soma.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Como
0\cdot 0 = 0,
então (0,0,0)\in W. Logo, o primeiro critério está satisfeito.

Passo 3

Testamos a clausura sob soma. Tomemos
u = (1,0,0)\in W,\quad v = (0,1,0)\in W,
pois em ambos x\,y=0. A soma é
u+v = (1,1,0).
Mas em (1,1,0) temos
1\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo (1,1,0)\notin W. Falhamos no critério de soma.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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