Qual é a excentricidade da elipse de equação: 4 x^2+25 y^2=100

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a excentricidade de uma elipse cuja equação é 4x^2 + 25y^2 = 100. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa equação na forma padrão de uma elipse e aplicar a fórmula da excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação dada na forma padrão da elipse. A forma padrão é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Para chegar nessa forma, dividimos ambos os lados da equação original por 100:
4x^2100 + 25y^2100 = 1
Simplificando, temos:
x^225 + y^24 = 1

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 e b^2 comparando com a forma padrão:
a^2 = 25 Rightarrow a = 5
b^2 = 4 Rightarrow b = 2
Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 4

A excentricidade ( e) da elipse mede o quanto ela se afasta de ser um círculo. A fórmula para calcular a excentricidade é:
e = raiz1 - b^2a^2
Substituindo os valores que encontramos:
e = raiz1 - 425 = raiz2125 = raiz215

Resposta

A excentricidade da elipse é raiz215, aproximadamente igual a 0,916.

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