Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(a) 4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique e esboce a superfície quádica definida por
4x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 4.
O conteúdo é “superfícies quádricas” e o primeiro passo é colocar a equação na forma padrão.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de 4x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 4 por 4, obtemos
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1.

Passo 3

Como todos os termos quadráticos têm sinais positivos e o lado direito é 1, trata-se de um elipsoide centrado na origem. A forma padrão é
\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} + \frac{z^{2}}{1^{2}} = 1.

Passo 4

Os interceptos com os eixos coordenados são:
em x, (\pm1,0,0);
em y, (0,\pm2,0);
em z, (0,0,\pm1).
Isso mostra que as semi-distâncias são a=1, b=2 e c=1 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Para esboçar, imagine uma forma oval fechada na orientação 3D, mais esticada ao longo do eixo y (comprimento total 4) e menor nos eixos x e z (comprimento total 2 em cada).

Resposta

Elipsoide centrado na origem com semi-eixos
a=1,\quad b=2,\quad c=1
e equação
\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} + \frac{z^{2}}{1^{2}} = 1.

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