Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas dada por
O conteúdo envolvido é o reconhecimento de formas canônicas de superfícies de segundo grau (quádricas) e o uso de transformações simples para classificá-las e desenhá-las.
Passo 2
Vamos isolar
. Somando
dos dois lados e dividindo por 4, obtemos
Passo 3
Percebemos que
aparece apenas em primeiro grau e
e
aparecem com coeficientes positivos. Isso caracteriza um paraboloide elíptico, cujo vértice é em
e que se abre na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Para entender melhor a forma geométrica, analisamos seções planas:
- Seção horizontal
:
que é uma elipse de semi-eixos
em
e
em
.
2. Seção vertical em :
2. Seção vertical em
que é uma parábola no plano
.
3. Seção vertical em :
3. Seção vertical em
que é outra parábola (mais “aberta”) no plano
.
Passo 5
Esboço qualitativo:
- O vértice está em
. - Para crescer em
, as curvas de nível são elipses com eixo maior ao longo de . - No plano
, a borda é a parábola ; no plano , é .
y
↑
| /\ ← seção em dá
| /
| / \
| /
| /
| / \ ← curva de nível elíptica
|/
±---------------→ x
/
/
z
↑
| /\ ← seção em
| / \
| /
| /
| /
|/
±---------------→ x
/
/
z
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
e equação canônica
que se abre para cima ao longo do eixo
.