Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(b) 4 x^{2}+y^{2}-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas dada por
4x^{2} + y^{2} - 4z = 0.
O conteúdo envolvido é o reconhecimento de formas canônicas de superfícies de segundo grau (quádricas) e o uso de transformações simples para classificá-las e desenhá-las.

Passo 2

Vamos isolar z. Somando 4z dos dois lados e dividindo por 4, obtemos
4z = 4x^{2} + y^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = x^{2} + \tfrac{1}{4}\,y^{2}.

Passo 3

Percebemos que z aparece apenas em primeiro grau e x^{2} e y^{2} aparecem com coeficientes positivos. Isso caracteriza um paraboloide elíptico, cujo vértice é em (0,0,0) e que se abre na direção positiva do eixo z.

Passo 4

Para entender melhor a forma geométrica, analisamos seções planas:
  1. Seção horizontal z = k>0:
x^{2} + \tfrac{1}{4}y^{2} = k \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2} + y^{2} = 4k,
que é uma elipse de semi-eixos \sqrt{k} em x e 2\sqrt{k} em y.
2. Seção vertical em y=0:
z = x^{2},
que é uma parábola no plano xz.
3. Seção vertical em x=0:
z = \tfrac{1}{4}y^{2},
que é outra parábola (mais “aberta”) no plano yz.

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • O vértice está em (0,0,0).
  • Para crescer em z, as curvas de nível z=k são elipses com eixo maior ao longo de y.
  • No plano y=0, a borda é a parábola z=x^{2}; no plano x=0, é z=\tfrac{1}{4}y^{2}.
y

| /\ ← seção em y=0 z=x^2 | /
| / \
| /
| /
| / \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\ ← curva de nível elíptica
|/
±---------------→ x
/
/
z

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e equação canônica
z = x^{2} + \tfrac{1}{4}y^{2},
que se abre para cima ao longo do eixo z.

Exercícios relacionados