Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1
e pede os vértices, os focos e a excentricidade. Informações relevantes que recebemos do enunciado:
  • A equação está centrada na origem, ou seja, o centro é (0,0).
  • Os denominadores são 4 (associado a x^{2}) e 25 (associado a y^{2}).
  • Precisamos encontrar: vértices (extremos do eixo maior), focos (pontos internos ao eixo maior) e excentricidade e (medida de “achatamento”).

Passo 2

Entender a forma padrão e identificar a e b.
  • A forma padrão de uma elipse centrada na origem é uma destas duas:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad\text{(se o eixo maior for horizontal)}
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\quad\text{(se o eixo maior for vertical)}
onde, por convenção, a é o semi-eixo maior (o maior dos dois) e b é o semi-eixo menor.
  • Compare os denominadores: 25>4. Então o maior denominador está sob y^{2}, o que indica que o eixo maior é vertical. Portanto tomamos
a^{2}=25,\qquad b^{2}=4.
  • Calcule a e b:
a=\sqrt{25}=5,\qquad b=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Explicar o que são vértices e localizá-los.
  • Vértices são os extremos da elipse ao longo do eixo maior. Como o eixo maior é vertical (e o centro é (0,0)), os vértices ficam em
(0,\pm a).
  • Substituindo a=5, os vértices são
(0,5)\quad\text{e}\quad(0,-5).
  • Observação prática para prova: se o maior denominador estivesse sob x^{2}, os vértices seriam (\pm a,0). Aqui, por causa de 25 em y^{2}, são verticais.

Passo 4

Explicar o que são os focos e como calculá-los.
  • Os focos (ou focos principais) são dois pontos simétricos situados no eixo maior, a uma distância c do centro, onde c satisfaz a relação clássica para elipses:
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos é constante) e é uma fórmula padrão que você deve decorar ou saber derivar.
  • Substituindo a^{2}=25 e b^{2}=4,
c^{2}=25-4=21,
logo
c=\sqrt{21}.

Passo 5

Localizar os focos usando o valor de c.
  • Como o eixo maior é vertical, os focos têm coordenadas
(0,\pm c).
  • Substituindo c=\sqrt{21}, os focos são
\bigl(0,\sqrt{21}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,-\sqrt{21}\bigr).
  • Para uso rápido na prova, você também pode anotar a aproximação \sqrt{21}\approx 4,5826, então os focos aproximados são (0,4,5826) e (0,-4,5826).

Passo 6

Calcular e explicar a excentricidade e.
  • A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a},
onde 0<e<1. Quanto mais próximo de 1, mais “esticada” é a elipse; quanto mais próximo de 0, mais parecida com um círculo.
  • Já temos c=\sqrt{21} e a=5, então
e=\frac{\sqrt{21}}{5}.
  • Aproximação numérica para verificação rápida:
\sqrt{21}\approx 4,5826\quad\Rightarrow\quad e\approx\frac{4,5826}{5}\approx 0,9165.

Passo 7

Resumo final prático — como lembrar na prova:
  • Identifique qual denominador é maior para saber a orientação do eixo maior.
  • Calcule a e b a partir das raízes dos denominadores.
  • Use c^{2}=a^{2}-b^{2} e depois e=c/a.
  • Coloque vértices e focos ao longo do eixo maior com sinal \pm.

Resposta

Vértices: (0,5) e (0,-5)
Focos: \bigl(0,\sqrt{21}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{21}\bigr)
Excentricidade: \dfrac{\sqrt{21}}{5}\approx 0,9165

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