Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede os vértices, os focos e a excentricidade. Informações relevantes que recebemos do enunciado:
- A equação está centrada na origem, ou seja, o centro é
. - Os denominadores são
(associado a ) e (associado a ). - Precisamos encontrar: vértices (extremos do eixo maior), focos (pontos internos ao eixo maior) e excentricidade
(medida de “achatamento”).
Passo 2
Entender a forma padrão e identificar
e
.
- A forma padrão de uma elipse centrada na origem é uma destas duas:
onde, por convenção,
é o semi-eixo maior (o maior dos dois) e
é o semi-eixo menor.
- Compare os denominadores:
. Então o maior denominador está sob , o que indica que o eixo maior é vertical. Portanto tomamos
- Calcule
e :
Passo 3
Explicar o que são vértices e localizá-los.
- Vértices são os extremos da elipse ao longo do eixo maior. Como o eixo maior é vertical (e o centro é
), os vértices ficam em
- Substituindo
, os vértices são
- Observação prática para prova: se o maior denominador estivesse sob
, os vértices seriam . Aqui, por causa de em , são verticais.
Passo 4
Explicar o que são os focos e como calculá-los.
- Os focos (ou focos principais) são dois pontos simétricos situados no eixo maior, a uma distância
do centro, onde satisfaz a relação clássica para elipses:
Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos é constante) e é uma fórmula padrão que você deve decorar ou saber derivar.
- Substituindo
e ,
logo
Passo 5
Localizar os focos usando o valor de
.
- Como o eixo maior é vertical, os focos têm coordenadas
- Substituindo
, os focos são
- Para uso rápido na prova, você também pode anotar a aproximação
, então os focos aproximados são e .
Passo 6
Calcular e explicar a excentricidade
.
- A excentricidade de uma elipse é definida por
onde
. Quanto mais próximo de
, mais “esticada” é a elipse; quanto mais próximo de
, mais parecida com um círculo.
- Já temos
e , então
- Aproximação numérica para verificação rápida:
Passo 7
Resumo final prático — como lembrar na prova:
- Identifique qual denominador é maior para saber a orientação do eixo maior.
- Calcule
e a partir das raízes dos denominadores. - Use
e depois . - Coloque vértices e focos ao longo do eixo maior com sinal
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Excentricidade:
Focos:
Excentricidade: