Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, por meio de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de seção reta A (Fig. 14-36). (a) Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio? (b) Se os diâmetros dos êmbolos são 3,80 cm e 53,0 cm, qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 20,0 kN

Passo 1

Então, temos um exercício sobre prensa hidráulica! A gente vai trabalhar com princípios de mecânica dos fluidos, mais especificamente com a Lei de Pascal. Basicamente, quando aplicamos uma força em um pistão menor, ela se transmite para um pistão maior através de um líquido incompressível. Para resolver isso, vamos precisar das áreas dos pistões e das forças envolvidas.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Queremos encontrar a força P = FA que precisa ser aplicada no pistão maior para que o sistema esteja em equilíbrio. Segundo a Lei de Pascal, a pressão aplicada no líquido é a mesma em todos os pistões. A pressão é dada por:
Onde é a força e é a área do pistão.

Passo 3

Como a pressão é a mesma nos dois pistões, temos:
fa = FA
Queremos isolar F = Aa times f , então multiplicamos ambos os lados por :
Esse é o módulo da força que precisamos aplicar no pistão maior para equilibrar a força no pistão menor.

Passo 4

Agora, vamos para o item (b). Nos foi dado que os diâmetros dos pistões são A = pi times r^2 cm e cm. Primeiro, precisamos encontrar as áreas dos pistões. A área de um círculo é:
Como o diâmetro , o raio .

Passo 5

Vamos calcular as áreas:
Para o pistão menor ( r1 = 3,802 = 1,90 cm cm):
A1 = pi times (1,90)^2 approx pi times 3,61 approx 11,34 cm^2
r2 = 53,02 = 26,5 cm
Para o pistão maior ( A2 = pi times (26,5)^2 approx pi times 702,25 approx 2206,97 cm^2 cm):

Passo 6

Sabemos que queremos equilibrar uma força de 20,0 kN no pistão maior. Vamos usar a mesma relação da Lei de Pascal:
fA1 = FA2
Queremos encontrar f = A1A2 times F :
f = 11,342206,97 times 20.000 N approx 11,342206,97 times 20.000 approx 102,6 N
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A força que deve ser aplicada no pistão maior para equilibrar é .
(b) O módulo da força que deve ser aplicada no pistão menor para equilibrar uma força de 20,0 kN é aproximadamente 103 N.

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