Usando a regra da cadeia determine partial zpartial s e partial zpartial t. z=tg(u / w) com u=2 s+3 t e w=3 s-2 t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função , onde e . Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que serve quando a gente tem funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e também como aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções compostas. Temos que depende de , e tanto quanto dependem de e . Então, para derivar em relação a e , precisamos derivar em relação a e depois derivar em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar derivando partial zpartial s = dd(uw) tan(uw) cdot partialpartial s (uw) em relação a dd(uw) tan(uw) = sec^2(uw) . Pela regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar partialpartial s (uw) = w cdot partial upartial s - u cdot partial wpartial sw^2 em relação a partial upartial s = 2 . Temos partial wpartial s = 3 e partialpartial s (uw) = (3s - 2t) cdot 2 - (2s + 3t) cdot 3(3s - 2t)^2 . Usando a regra para derivar uma função quociente:
= 6s - 4t - 6s - 9t(3s - 2t)^2
Calculando as derivadas parciais:
= -13t(3s - 2t)^2
Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo para partial zpartial s = sec^2(uw) cdot (-13t(3s - 2t)^2) :
= -13t cdot sec^2(2s + 3t3s - 2t)(3s - 2t)^2

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para derivar partial zpartial t = dd(uw) tan(uw) cdot partialpartial t (uw) em relação a = sec^2(uw) cdot partialpartial t (uw) . Pela regra da cadeia:

Passo 7

Agora, derivando partialpartial t (uw) = w cdot partial upartial t - u cdot partial wpartial tw^2 em relação a partial upartial t = 3 :
partial wpartial t = -2
Calculando as derivadas parciais:
partialpartial t (uw) = (3s - 2t) cdot 3 - (2s + 3t) cdot (-2)(3s - 2t)^2
= 9s - 6t + 4s + 6t(3s - 2t)^2
Então:
= 13s(3s - 2t)^2

Passo 8

Juntando tudo para partial zpartial t = sec^2(uw) cdot (13s(3s - 2t)^2) :
= 13s cdot sec^2(2s + 3t3s - 2t)(3s - 2t)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = -13t cdot sec^2(2s + 3t3s - 2t)(3s - 2t)^2
e
partial zpartial t = 13s cdot sec^2(2s + 3t3s - 2t)(3s - 2t)^2

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