Usando a regra da cadeia determine
.
com
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função
, onde
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que serve quando a gente tem funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e também como aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções compostas. Temos que
depende de
, e tanto
quanto
dependem de
e
. Então, para derivar
em relação a
e
, precisamos derivar
em relação a
e depois derivar
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. Pela regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Temos
e
. Usando a regra para derivar uma função quociente:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Agora, juntando tudo para
:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para derivar
em relação a
. Pela regra da cadeia:
Passo 7
Agora, derivando
em relação a
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 8
Juntando tudo para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e