Existem pontos no hiperboloide
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano
?
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de um hiperboloide:
. A pergunta é se existem pontos nesse hiperboloide onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano tangente ao hiperboloide
em um ponto qualquer
. A derivada parcial de cada variável nos dá os coeficientes do plano tangente.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a equação do plano tangente é:
Simplificando, fica:
Passo 4
Queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano
. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano tangente é
e o vetor normal do plano dado é
.
Passo 5
Então, existe uma constante
tal que:
Isso nos dá:
Resolvendo:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
que satisfaz a equação do hiperboloide
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Como
não pode ser negativo, não existe valor real de
que satisfaça essa equação.
Resposta
Não existem pontos no hiperboloide
onde o plano tangente seja paralelo ao plano
.