Existem pontos no hiperboloide x^2-y^2-z^2=1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano x+y-z=0 ?

Passo 1

Então, a gente tem uma equação de um hiperboloide: . A pergunta é se existem pontos nesse hiperboloide onde o plano tangente é paralelo ao plano . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano tangente ao hiperboloide em um ponto qualquer . A derivada parcial de cada variável nos dá os coeficientes do plano tangente.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = 2x, partial Fpartial y = -2y, partial Fpartial z = -2z
Então, a equação do plano tangente é:
2x0 (x - x0) - 2y0 (y - y0) - 2z0 (z - z0) = 0
Simplificando, fica:
2x0 x - 2y0 y - 2z0 z = 1

Passo 4

Queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano . Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano tangente é e o vetor normal do plano dado é .

Passo 5

Então, existe uma constante 2x0 = k cdot 1, -2y0 = k cdot 1, -2z0 = k cdot (-1) tal que:
2x0 = k, -2y0 = k, -2z0 = -k
Isso nos dá:
x0 = k2, y0 = -k2, z0 = k2
Resolvendo:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de ( k2 )^2 - ( -k2 )^2 - ( k2 )^2 = 1 que satisfaz a equação do hiperboloide k^24 - k^24 - k^24 = 1 Rightarrow -k^24 = 1 . Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para -k^24 = 1 Rightarrow k^2 = -4 :
Como não pode ser negativo, não existe valor real de que satisfaça essa equação.

Resposta

Não existem pontos no hiperboloide onde o plano tangente seja paralelo ao plano .

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