Em geral, os médicos usam gráficos de crescimento para comparar alturas e pesos de crianças com idade semelhantes. Obteve-se uma amostra aleatória de bebês do sexo feminino, e o peso (em quilogramas) e a idade (em meses) de cada uma são apresentadas na tabela a seguir.
Idade (x) 33 32 14 20 15 16 30 17 21 23
Peso (y) 12,9 13,8 8,2 12,2 8,5 12,9 13,7 11,2 11,9 10,4
Ache a reta de regressão estimada e teste a sua existência ao nível de significância de 0,05 . ( 2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=10 bebês do sexo feminino com idade x (meses) e peso y (kg) e pede:
  1. encontrar a reta de regressão linear estimada de y em função de x;
  2. testar, ao nível \alpha=0,05, se há evidência de relação linear ( H_0:\beta_1=0 versus H_1:\beta_1\neq0).

Passo 2

Vamos calcular as médias
\bar{x}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i =\frac{221}{10}=22{,}1, \quad \bar{y}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i =\frac{115{,}7}{10}=11{,}57.

Passo 3

Definimos
S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=464{,}9, \quad S_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=93{,}53.
Daí a inclinação estimada é
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx\frac{93{,}53}{464{,}9} \approx0{,}2013,
e o intercepto
b_0=\bar{y}-b_1\,\bar{x} \approx11{,}57-0{,}2013\times22{,}1 \approx7{,}12.
Logo a reta é
\hat{y}=7{,}12+0{,}2013\,x.

Passo 4

Para testar H_0:\beta_1=0, usamos o estatístico
t =\frac{b_1}{\mathrm{SE}(b_1)},
onde
\mathrm{SE}(b_1) =\sqrt{\frac{\mathrm{MSE}}{S_{xx}}}, \quad \mathrm{MSE}=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}.
Calculamos primeiro
\mathrm{SST}=\sum(y_i-\bar{y})^2\approx35{,}841, \quad \mathrm{SSR}=b_1\,S_{xy}\approx0{,}2013\times93{,}53\approx18{,}83,
\mathrm{SSE}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSR}\approx35{,}841-18{,}83=17{,}011, \quad \mathrm{MSE}=\frac{17{,}011}{10-2}=2{,}1264,
\mathrm{SE}(b_1) =\sqrt{\frac{2{,}1264}{464{,}9}} \approx0{,}0676, \quad t\approx\frac{0{,}2013}{0{,}0676}\approx2{,}98.

Passo 5

Com df=10-2=8, o valor crítico para \alpha=0,05 (bicaudal) é t_{0{,}025,8}\approx2{,}306. Como
|t|\approx2{,}98>2{,}306,
rejeitamos H_0 e concluímos que a inclinação é significativa ao nível de 5\%, isto é, existe relação linear entre idade e peso.

Resposta

A reta de regressão estimada é
\hat{y}=7{,}12+0{,}2013\,x.
O teste de H_0:\beta_1=0 resulta em t\approx2{,}98 com df=8, e como 2{,}98>2{,}306 rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.

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