Emi cada um dos Problemas de 9 a 20 :
(a) Encontre a soluçio do problema de valor inicial dado em forma explicita
y^prime=(e^-4-c^2) /(3+4 y), y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = e^-4-c^23+4y, y(0)=1
Trata-se de uma equação de primeira ordem e variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e usar a condição inicial para obter y(x) explicitamente.

Passo 2

Escrevemos y' = dydx e separamos as variáveis:
(3+4y),dy = (e^-4-c^2),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (3+4y),dy = integral (e^-4-c^2),dx
No lado esquerdo,
integral (3+4y),dy = 3y + 2y^2 + C,
e no direito
integral (e^-4-c^2),dx = (e^-4-c^2),x + C'
Podemos juntar as constantes numa única C:
3y + 2y^2 = (e^-4-c^2),x + C

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=1:
3cdot1 + 2cdot1^2 = C Longrightarrow C = 5
Logo a relação implícita é
2y^2 + 3y = (e^-4-c^2),x + 5

Passo 5

Reescrevemos como equação quadrática em y:
2y^2 + 3y - l[(e^-4-c^2),x + 5r] = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -3 pm raiz3^2 + 4cdot2l((e^-4-c^2),x +5r)2cdot2
Dentro do radical temos
9 + 8l((e^-4-c^2),x +5r) = 9 + 8(e^-4-c^2)x + 40 = 49 + 8(e^-4-c^2)x

Resposta

Escolhendo o sinal “ +” para satisfazer y(0)=1, obtemos
y(x) = -3 + raiz49 + 8,(e^-4 - c^2),x4

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